Dimostrazione Criterio successioni di cauchy

[p4ngm4n]

qualcuno potrebbe spiegarmi la dimostrazione del criterio di convergenza delle successioni di cauchy? sul mio libro è poco chiara ci sono un sacco di lemmi
grazie

[p4ngm4n]

ho visto che c'è un post precedente ma io vorrei una dimostrazione di questi lemmi che permettono la dimostrazione del criterio di convergenza per le successioni di cauchy.

[miuemia]

scusa a quale ti riferisci a quello che se ho una succesione di cauchy in uno spzio metrico completo allora è convergente?

[p4ngm4n]

mi riferisco al teorema di analisi 1:
una successione $a_n$ è convergente $<=>$ è di Cauchy

[p4ngm4n]

spero di essere stato kiaro. se sono molti procedimenti da scrivere capisco. in tal caso qualcuno potrebbe indicarmi una dispensa dove è possibile trovare una spiegazione chiara ed esaustiva di questo teorema?

[miuemia]

credo che l'enunciato corretto del teorema sia:
una successione di "numeri reali" è convergente se e solo se è di cauchy.
(è fondamentale che sia in $RR$)
dim.
$(=>)$
suppuniamo che $a_n->l in RR$, fissato $epsilon>0$ presi comunque $n,m>=bar n$ si ha che $|a_n-l|<epsilon \quad e \quad |a_m-l|<epsilon
quindi per disuguaglianza triangolare:
$|a_m-a_n|<2epsilon$ quindi la successione è di cauchy.
$viceversa$
supponiamo che $a_n$ sia di cauchy.anzitutto osservo che $AA epsilon_0>0$ dalla definizione di cauchy si ha che :
$EE n_0: AA m,n>=n_0, a_m-epsilon_0<a_n<a_m+epsilon_0$
quindi in particolare per $m=n_0$ si ha che : $a_n_0-epsilon_0<a_n<a_n_0+epsilon_0$
cioè è limitata.
quindi per Bolzano-Weierstrass esiste una sottosuccessione convergente ad un numero reale $l$ cioè
$EE n': AA n>=n' \quad |a_k_n-l|<epsilon$
ora uso il fatto che la successione è di cauchy:
$EE n'' : AA n,m>=n'' \quad|a_n-a_m|<epsilon$

posto N=max(n',n'') usando ancora la disuguaglianza triangolare si ha che
$AA n>=N |a_n-l|<= |a_n-a_k_n|+|a_k_n-l|<2epsilon$
cioè la successione è convergente.

fondamentale è il fatto che siamo in $RR$ che è uno spazio metrico completo per questo nell'enunciato del teorema devi aggiungere "successione di numeri reali" perchè in altri spazi l'essere di cauchy non implica la convergenza.
ciao.

[p4ngm4n]

qualcuno può confermare la correttezza del teorema?
grazie 1000 cmq

[miuemia]

prego