COMPATTEZZA SPAZIO METRICO

da **puffosi** » 27/10/2006, 16:01

Presi i razionali Q e la metrica │q1-q2│.
L'insieme A = {q appartenente Q: √2<q<√3}.
è limitato e chiuso ma non è compatto.
Sulle prime due caratteristiche non ho dubbi (spero!) ma come faccio a dimostrare che non è compatto?
Secondo la teoria dovrei trovare almeno 1 copertura di aperti tale da non avere una sottocopertura finita..non so da dove iniziare qualcuno mi aiuta per favore?
Aspetto...

da **Thomas** » 27/10/2006, 16:28

Uno spazio metrico compatto è completo: quello non lo è... non tutte le successione di Cauchy convergono nell'insieme...

Alternativamente, uno spazio metrico è compatto per successioni.. trova la successione da cui non puoi estrarre una sotto-successione convergente...

NB(divagazioni): se trovi una successione di Cauchy che non converge, automaticamente hai trovato la succ da cui non puoi estrarre una sottosuccessione convergente. Infatti, prendiamo $a_n$di Cauchy ma non convergente... $a_n$ convergerà allora nella chiusura di A ad un certo $u notin A$. Se per assurdo trovassimo una sotto-successione di $a_n$ convergente in A, questa deve convergere ad $u$. Ma $u$ non è in A. Contraddizione.

Il viceversa, ovvero il fatto che una successione da cui non puo estrarre una sotto-successione convergente sia una successione di Cauchy non convergente è falso.
Infatti per trovare una successione di tal fatta puoi anche prendere tutti gli elementi distanti tra loro... (tipo su R la succ $a_n=n$ non ammette sottosucc convergenti ma non è di Cauchy).

E' però vero che tutti queste successioni possiedono come fondamentale proprietà quella di costituire insiemi CHIUSI. Infatti la chiusura in spazi metrici equivale alla chiusura per successioni. Visto che queste successioni non possiedono sottosuccessioni convergenti, sono automaticamente insiemi chiusi...

da **Fioravante Patrone** » 27/10/2006, 16:29

una risposta indiretta è prendere una successione che tende a radice di 2 come, ad esmepio, le approx decimali per eccesso di $\sqrt(2)$

è una successione che non ammette alcuna sottosuccessione estratta convergente (nel tuo spazio metrico, s'intende)

il ricoprimento che cerchi lo puoi costruire con questa successione:
se chiami $x_n$ il "termine generale", la famiglia numerabile di aperti $]x_n,\sqrt(3)[$ ricopre il tuo spazio metrico ma nessuna sottofamiglia finita ce la fa

da **Kroldar** » 27/10/2006, 16:36

Una generica palla di $QQ$ euclideo è un insieme del tipo $|q-q_0|<r$. Ovviamente $q$ è un generico numero razionale e $q_0$ è un numero razionale fissato. E $r$? Deve essere scelto per forza razionale o lo si può prendere anche irrazionale?

da **Fioravante Patrone** » 27/10/2006, 16:42

Kroldar ha scritto:E $r$? Deve essere scelto per forza razionale o lo si può prendere anche irrazionale?

lo puoi prendere irrazionale
non ha nessuna importanza essere in $QQ$
il raggio di una pallain uno spazio metrico è un generico numero reale

da **puffosi** » 27/10/2006, 17:04

quindi tu dici che la famiglia numerabile di aperti $]x_n,\sqrt(3)[$ è la copertura di aperti che cerco che non ha una sottocopertura finita. Ma in basa a cosa l'hai trovata? e mi spieghi perchè non ha una sottocopertura finita?

da **Fioravante Patrone** » 27/10/2006, 17:22

puffosi ha scritto:Ma in basa a cosa l'hai trovata?

abitudine alla matematica, tutto lì

puffosi ha scritto:e mi spieghi perchè non ha una sottocopertura finita?

veramente questo dovrebbe essere lavoro tuo. Ti suggerisco di rappresentare questi aperti sulla retta con un disegnino

un "hint" per tutte e due le domande precedenti:
i miei aperti sono "inscatolati" l'uno dentro l'altro
questo è il "trucco" principale

da **puffosi** » 27/10/2006, 17:25

ho capito grazie dei consigli

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