Campo complesso

[ardimentoso66]

Da autodidatta sto studiando il campo complesso.
Mi chiedevo, incuriosito, perchè: (a,b)x(c,d) = (ac-bd,ad+cb)?
Questa definizione ha una giustificazione geometrica/algebrica?

Grazie a quanti mi potranno illuminare.....
Ardimentoso

[Fioravante Patrone]

certo
serve per far "tornare" la regola per cui per manipolare i complessi serve $i^2 = -1$ e per il resto si usa l'algebra solita

se scrivi $(a,b)$ come $a + ib$ etc. e fai il prodotto, trovi:
$(a+ib)(c+id) = ac +iad + ibc + i^2bd = ac +iad + ibc - bd = (ac - bd) +i (ad + bc)$

ed ecco svelato l'arcano

[ardimentoso66]

Grazie prof.
Spiegazione chiara ed elegante.

A presto

Ardimentoso

[fireball]

Io come risposta avrei dato: perché fa comodo.

[Camillo]

Perchè permette di estendere le proprietà formali del prodotto dal campo reale a quello complesso .

[Fioravante Patrone]

@Camillo

sono pienamente d'accordo, anzi aggiungerei che le operazioni si definiscono in quel modo sulle coppie ordinate di numeri reali (in particolare, il prodotto che giustamente incuriosisce ardimentoso66) perché è proprio l'unico modo per poter estendere le operazioni da $RR$ a $CC$ mantenendone le proprietà formali

un caveat: queste sono le ragioni odierne per l'introduzione dei numeri complessi. La genesi storica del concetto è ben diversa. Da quel che ne so, la chiave per la loro introduzione è dovuta al fatto che, nella risoluzione della generica equazione algebrica di terzo grado, la formula di Cardano portava a estrarre radici quadrate di numeri negativi, anche se poi il risultato finale (ottenuto manipolando questi strani "numeri assurdi" come si fa ora con i complessi) era un numero reale.

Carino, no? $x^2 + 1 = 0$ non aveva soluzione e nessuno se ne preocupava!
La paura dell'ignoto... che si affronta solo quando non se ne può proprio più fare a meno, quando si è intravista terra al di là dell'abisso.

[ardimentoso66]

OK, la mia curiosità è stata pienamente soddisfatta. Anche dal punto di vista storico! La curiosità nasceva perchè dal testo su cui sto "studiando" [quando moglie e bambine me lo permettono] si dice che il campo complesso si costruisce a partire da quello reale munendo di un'opportuna struttura algebrica l'insieme $R^2$. Quindi mi propone il prodotto di cui prima. Se non avessi avuto le vostre considerazioni (oppure se non avessi sfogliato il testo qualche pagina più avanti), in effetti il prodotto (a,b)x(c,d) sarebbe rimasto un esercizio mnenmonico e non ne avrei capito appieno il significato. E' come giustificare a posteriori un'asserzione fatta a priori.
Ad ogni modo, adesso tutto mi è più chiaro.
Grazie ancora.

Ardimentoso

[Maxos]

E' uno dei problemi di didattica della matematica, e l'algebra lo evidenzia in modo particolare:
pure esistendo uno straordinario linguaggio formale che non da adito a confusione alcuna imparare la matematica in un modo piuttosto che in un altro non è la stessa cosa per chi la impara.

E questo perché, a mio avviso, la matematica rispecchia la testa dell'uomo e di conseguenza deve, quando può, e spesso, sforzandosi, può, essere intuitiva (a differenza della fisica che umilia le capacità umane di interpretazione del mondo e risulta fortemente controintuitiva, vedi effetto tunnel ad esempio).

Del resto uno potrebbe definire $RR$ come un campo ordinato completo (essendo l'unico a meno di isomorfismi).

Dopo di che i tuoi studenti ti sputano in faccia, giustamente, perché $RR$ lo introduci dapprima come spazio metrico (completo, questo sì, sennò addio derivate, povero Leibniz), e questa è la via più comoda per entrarci.