limite

[ben]

Ciao a tutti,

Potreste spiegarmi come si risolve il seguente limite?

$lim_{x to 0+}((sin5x+sinx)/(sqrt(1-cosx))$

ho capito solo che a denominatore posso mettere $sen^2x$ a numeratore é giusto $sin6x$ ?
non ho capito come fare a ricondurlo ad un limite notevole.

Grazie
Ben

[Kroldar]

Al denominatore c'è $sqrt(1-cosx)$ che non fa $sin^2x$... sarebbe venuto $sin^2x$ se fosse stato $sqrt(1-cos^2x)$

Inoltre $sin(5x)+sinx$ non è affatto uguale a $sin(6x)$: la funzione seno non è affatto lineare

Passiamo ora al calcolo di quel limite:

Notiamo che $|sin(x/2)| = sqrt((1-cosx)/2)$ dunque $sqrt(1-cosx) = sqrt(2) |sin(x/2)|$, ma per $x$ che va a $0$ da destra

la quantità $|sin(x/2)|$ è positiva, quindi possiamo togliere il modulo senza cambiare segno.

Per questo, $lim_(xto0^+) (sin(5x)+sinx)/sqrt(1-cosx) = lim_(xto0^+) (sin(5x)+sinx)/(sqrt(2) sin(x/2))$

Volendo esagerare con i virtuosismi possiamo anche ricordare la prima formula di prostaferesi, da cui discende che

$sin(5x)+sinx = 2sin(3x)cos(2x)$, perciò il limite diventa $lim_(xto0^+) (sqrt(2)sin(3x)cos(2x))/sin(x/2)$

Adesso credo che tu possa anche continuare da solo...

[fireball]

Però $sin(5x)+sinx$ va a zero come $6x$
e quindi, volendo, anche come $sin(6x)$.
Non è quindi sbagliato, se si vuole, sostituire alla
somma di seni $sin(6x)$ IN QUESTO CASO...

[ben]

Scusate per gli errori. Purtroppo trigonometria non l’ho mai fatta alle superiori e adesso mi trovo a dover fare tutto insieme.... Ho capito l’errore del denominatore , ma ho qualche dubbio sul $sin5x + sinx$ . Ho visto che con la formula di prostaferesi si arriva a $sqrt(2)*sin(3x)*cos(2x)$, razzionalizzando la radice a denominatore e semplificandola con il 2 a numeratore. Questo è chiaro , quindi non essendo lineare non posso sommarle semplicemente. Fireball , come fai a dire che $sin5x +sinx$ va a zero come $6x$ . Perché il limite tende a 0 ? Non ho capito il ragionamento da seguire.

Grazie
Ben

[fireball]

Perché per $x->0$, considerando gli sviluppi
di MacLaurin al prim'ordine:
$sin(ax)=ax+o(x)
per ogni $a in RR$
Quindi in questo caso si ha:
$sin(5x)+sinx=5x+o(x)+x+o(x)=6x+o(x)
il che vuol dire che la funzione $sin(5x)+sinx$
è asintotica per $x->0$ alla funzione $6x$.

[ben]

gli sviluppi di Maclaurin non li ho ancora fatti.

grazie per la risposta.