Massimo, minimo, sup ed inf

[Daniheart]

Ciao a tutti,
potreste spiegarmi in maniera elementare magari correlando con esempi, come di trova il max, min, sup ed inf? per esempio come si risolve questo esercizio?

La funzione f: [0,1]U[3,4[ → ℝ così definita f(x)= x-2 è limitata? Determinare maxf, minf, sup ed inf.

Grazie in anticipo a coloro che vorranno aiutarmi...

[CiUkInO]

Ciao a tutti,
potreste spiegarmi in maniera elementare magari correlando con esempi, come di trova il max, min, sup ed inf? per esempio come si risolve questo esercizio?

La funzione f: [0,1]U[3,4[ → ℝ così definita f(x)= x-2 è limitata? Determinare maxf, minf, sup ed inf.

Grazie in anticipo a coloro che vorranno aiutarmi...

Premetto che è un secolo che non faccio ste cose, ma dovrei ricordarmi qualcosa.

Per cominciare l'inf e il sup esistono sempre, mentre max e min non è detto. Inoltre se una funzione ammette min allora il min coincide con l'inf, stesso discorso per il max.
Nel tuo caso il min e l'inf coincidono e si hanno quando poni $x=0$ poichè in quel caso $f(x)=-2$.
Il max invece non esiste, poichè $x=4$ è escluso dal dominio.
Il sup di f invece si ha proprio sostituendo $x=4$ da cui si ha $f(x)=2$


Spero di essere stato chiaro!

[matematicoestinto]

Per cominciare l'inf e il sup esistono sempre, mentre max e min non è detto. Inoltre se una funzione ammette min allora il min coincide con l'inf, stesso discorso per il max.

Mi dispiace contraddirti ma questo non è vero....

Si nonsideri ad esempio l'insieme $RR$, esso non ha nè massimo, nè minmo, nè estremo superiore, nè inferiore.
Si consideri l'insieme A così definito: $A=[1/n n in N]$ questo insieme ha estremo superiore = max = 1

Estremo inferiore = 0 . Non ha minimo perchè 0 non appartiene ad $NN$.

Il massimo è l'elemento di un insieme maggiore o uguale di tutti gli altri elementi. L'estremo superiore è quell'elemento appartenente o no all'insieme che è elemento di separazioen fra gli elementi dell'insieme e i maggioranti. Esso è il minore dei maggiornatidi un insieme.

Cosa analoga avviene per l'inf e per il min

[Daniheart]

Si consideri ad esempio l'insieme $RR$, esso non ha nè massimo, nè minmo, nè estremo superiore, nè inferiore.
Si consideri l'insieme A così definito: $A=[1/n n in N]$ questo insieme ha estremo superiore = max = 1

Estremo inferiore = 0 . Non ha minimo perchè 0 non appartiene ad $NN$.

Come fai a dirlo?

Quindi la risposta di CiUkInO al mio esercizio era sbagliata?
Pensavo di aver capito e invece...

[matematicoestinto]

No è giusta... ma sono sbaglaite le definizioni che ti ha dato... D'altra parte i risultati ottenuti sono compatibili con la definizione che ho scritto io.

[Daniheart]

Già è un sollievo visto ke almeno questo lo avevo capito...
Quindi non è vero ke il sup e l'inf esistono sempre? e ke se esiste min allora questo coincide con l'inf e lo stesso dicasi per il max?

[matematicoestinto]

Esatto....

la funzione 1/n è un ottimo esempio. 0 non fa parte del dominio, non può essere min, ma è l'inf

[Daniheart]

scusami se insisto ancora ma infatti lui diceva che il minimo SE esiste, solo in quel caso esso coincide con l'estremo inferiore, nel caso di 1/n non esiste il minimo ma come dicevi tu ammette estremo inf.
scusami sto facendo un pò di confusione, come faccio a trovare il minimo?

[Fioravante Patrone]

Per cominciare l'inf e il sup esistono sempre, mentre max e min non è detto. Inoltre se una funzione ammette min allora il min coincide con l'inf, stesso discorso per il max.
Nel tuo caso il min e l'inf coincidono e si hanno quando poni $x=0$ poichè in quel caso $f(x)=-2$.
Il max invece non esiste, poichè $x=4$ è escluso dal dominio.
Il sup di f invece si ha proprio sostituendo $x=4$ da cui si ha $f(x)=2$

Le affermazioni di CiUkInO sono tutte corrette
Ovviamente, quando dice che sup e inf esistono sempre, egli include anche i casi in cui essi possano essere + o - infinito.
Nel caso, ad esempio, di $RR$ si può dire che:
- l'insieme $RR$ non è superirmente limitato
- il suo sup è + infinito
E' un po' questione di gusti usare una versione o un'altra.

In particolare, la sua soluzione dell'esercizio è corretta.

[CiUkInO]

Per cominciare l'inf e il sup esistono sempre, mentre max e min non è detto. Inoltre se una funzione ammette min allora il min coincide con l'inf, stesso discorso per il max.
Nel tuo caso il min e l'inf coincidono e si hanno quando poni $x=0$ poichè in quel caso $f(x)=-2$.
Il max invece non esiste, poichè $x=4$ è escluso dal dominio.
Il sup di f invece si ha proprio sostituendo $x=4$ da cui si ha $f(x)=2$

Le affermazioni di CiUkInO sono tutte corrette
Ovviamente, quando dice che sup e inf esistono sempre, egli include anche i casi in cui essi possano essere + o - infinito.
Nel caso, ad esempio, di $RR$ si può dire che:
- l'insieme $RR$ non è superirmente limitato
- il suo sup è + infinito
E' un po' questione di gusti usare una versione o un'altra.

In particolare, la sua soluzione dell'esercizio è corretta.

Fortunatamente c'è qualcuno che la pensa come me!!!!

A dire la verità forse non sono stato meticoloso nella spiegazione, e per questo sono nate delle "incomprensioni"!!