Forme indeterminate

[Mortimer]

Come sono dimostrabili le forme indeterminate? Sono convenzioni adottate osservando il comportamento delle funzioni, sono enti?

[Fioravante Patrone]

Le forme indeterminate non sono "dimostrabili".

In poche ed imprecise parole, il termine "forma indeterminata" sta ad indicare che hai un limite di cui non puoi sapere se esiste e quanto vale solo applicando i teoremi sui limiti di somme, quozienti, etc.
Potremmo dire che è una convenzione linguistica.

Provo a spiegarmi con l'esempio più classico.

Cosa vuol dire che $0/0$ è una forma indeterminata?
Vuol dire che, se devi fare il $\lim_{x to x_0} (f(x))/(g(x))$ e sai solo che:
$\lim_{x to x_0} f(x)= 0$
$\lim_{x to x_0} g(x)= 0$
non puoi utilizzare il teorema sul limite del quoziente per poter dire se il limite proposto esiste (e, in caso affermativo, quanto valga)

Normalmente è possibile dare una risposta al problema dato usando altri metodi: facendo calcoli espliciti, raccogliendo fattori a numeratore e denominatore, srazionalizzando, usando l'Hopital...

Esempio banale:
Vuol dire che, se devi fare il $\lim_{x to 3} (x^3 - 1)/(x-3)$, sai che:
$\lim_{x to 3} x^3 -27= 0$
$\lim_{x to 3} x-3 = 0$

Quindi hai una forma indeterminata, ma ci vuole poco a scoprire cosa faccia:
$\lim_{x to 3} (x^3 - 1)/(x-3) = \lim_{x to 3} (x-3)(x^2 + 3x + 9)/(x-3) = \lim_{x to 3} x^2 + 3x + 9$

[Mortimer]

Questa storia delle forme indeterminate rimane per me un problema che continuo a non capire. Faccio un esempio numerico: nel campo dei numeri naturali: $5X2=10, 10/2=5$ Ma $0X0=0, 0/0=?$ Quindi lo zero ha un diverso comportamento con gli operatori aritmetici. Addizione,sottrazione e moltiplicazione hanno un comportamento. In base a quale criterio nella divisione il risultato è indeterminato? E le relazioni del tipo $a/oo, a/0$ nell'operazione di limite? So dei loro valori solo osservando i comportamenti delle funzioni

[Fioravante Patrone]

solo una precisazione, ma importante
quando si dice che $0/0$ è una forma indeterminata, non ci si riferisce al quoziente fra due numeri
dividere un numero per zero è semplicemente impossibile



provo a ridire le cose in modo diverso

dire che $0/0$ è una forma indeterminata vuol dire la cosa seguente:

"non possiamo dire nulla su $\lim_{x to x_0} (f(x))/(g(x))$ se sappiamo solo che:
$\lim_{x to x_0} f(x)= 0$
$\lim_{x to x_0} g(x)= 0$"

[Mortimer]

Ok, ho compreso. Facevo confusione tra la forma indeterminata ed il quoziene 0/0, è stata una precisazione importante.
Sulle forme indeterminate hai dissipato ogni mio dubbio.

[Fioravante Patrone]

wow!

merita una