chiarimento logaritmo con numero di nepero

[Roger.]

Ciao ragazzi non mi è chiaro questo passaggio del logaritmo trasformato in e (numero di nepero) spero riusciate ad aiutarmi graziee!!

perche

$ (nlogn)^n = e^(nlog(nlogn))= e^(nlogn+nlog(logn)) $


e perchee

$ n^logn=e^(nlogn.logn)=e^(n(logn)^2) $

[Bubbino1993]

$nlnn^n=e^ln((nlnn)^n)=e^(nln(nlnn))=e^(nlnn+nln(lnn))$

Con il passaggio intermedio che ho fatto è più chiaro? Si tratta semplicemente di sapere che:

$a=e^lna$

$lna^b=blna$

$ln(a*b)=lna+lnb$

[Roger.]

Adesso è tutto chiarissimo grazie mile!!!

[Roger.]

ma una domanda quanto vale il$nlogn$ ?

$ sum_{k=2}^N ((sqrt(n+1)- sqrt(n))/(nlogn)) $

serie a termini positivi

$ sqrt(n+1)-sqrt(n)=sqrt(n)(sqrt(1+1/n)-1)~ sqrt(n)/(2n)=1/(2sqrtn) $

quindi an $ ~ 1/(2n^frac(3)(2)logn)<1/(2n^frac(3)(2)). $ quindi converge

perché in questo passaggio $ sqrt(n+1)-sqrt(n)=sqrt(n)(sqrt(1+1/n-1))~ sqrt(n)/(2n)=1/(2sqrtn) $
è asintotico a $sqrt(n)/(2n)$

il $logn$ non è mica 1

io in questo passaggio avevo fatto $ sqrt(n+1)-sqrt(n)=sqrt(n)(sqrt(1+1/n-1))~ sqrt(n)/(n)=1/n^frac(1)(2) $ che converge ugualmente

[Bubbino1993]

$ sum_{n=2}^N ((sqrt(n+1)- sqrt(n))/(nlogn)) $ è una serie numerica a termini positivi il cui numeratore è $ sqrt(n+1)-sqrt(n)=sqrt(n)(sqrt(1+1/n)-1)~ sqrt(n)/(2n)=1/(2sqrtn) $, in cui si è usato il criterio del confronto ricordando la stima asintotica per cui $(1+x)^alpha=1+alphax, if x rarr 0$, qui applicata per $sqrt(1+1/n)=(1+1/n)^(1/2)~1+1/(2n)$.

Poiché $a_n ~ 1/(2n^frac(3)(2)logn)<1/(2n^frac(3)(2)) $, la serie converge per confronto con la serie armonica generalizzata.

In definitiva, il tuo procedimento è sbagliato, mancando il fattore $1/2$ derivante dalla stima asintotica di cui sopra.

[Roger.]

ti ringrazio!!

[Quasar3.14]

Scusate se riporto a galla questo topic, ma avrei una domanda.
Perchè si è potuto utilizzare questo criterio

$(1+x)^alpha=1+alphax, if x rarr 0$, per $sqrt(1+1/n)=(1+1/n)^(1/2)~1+1/(2n)$

Dove viene indicato che $x rarr 0$

In questo caso cosa indica l'indice superiore della sommatoria $ sum_{n=2}^N$?

Lo svolgimento sarebbe stato uguale se ci fosse stato scritto $+infty$ invece di $N$ ?

Grazie

[pilloeffe]

Ciao Quasar3.14,

$ \sum_{n=2}^N ((\sqrt(n+1) - \sqrt(n))/(nlogn)) $ è una serie numerica a termini positivi

No, quella proposta non è una serie, ma una semplice somma di termini positivi per $n$ che va da $2$ a $N$.
Il discorso è diverso se si considera $N \to +\infty $:

$\lim_{N \to +\infty} \sum_{n=2}^N (\sqrt(n+1) - \sqrt(n))/(n logn) = \sum_{n=2}^{+\infty} (\sqrt(n+1) - \sqrt(n))/(n logn)$

In tal caso l'ultima scritta sulla destra è una serie numerica a termini positivi e si ha:

$ \sum_{n=2}^{+\infty} (\sqrt(n+1) - \sqrt(n))/(nlogn) = \sum_{n=2}^{+\infty} (\sqrt(n(1+1/n)) - \sqrt(n))/(n logn) = \sum_{n=2}^{+\infty} (\sqrt(n)\sqrt(1+1/n) - \sqrt(n))/(n logn) = $

$ = \sum_{n=2}^{+\infty} (\sqrt(n)(\sqrt(1+1/n) - 1))/(n logn) = \sum_{n=2}^{+\infty} (\sqrt(1+1/n) - 1)/(\sqrt(n) log n)$

A questo punto asintoticamente parlando ha senso considerare il limite notevole $\lim_{x \to 0} ((1+x)^p - 1)/x = p $ che con $p := 1/2 $ e $x := 1/n $ si può scrivere $\lim_{n \to +\infty} (\sqrt(1+1/n) - 1)/(1/n) = 1/2 \implies $ \( \displaystyle \sqrt{1+\frac{1}{n}} - 1 \sim \frac{1}{2n} \)

Quindi si può scrivere:

\( \displaystyle \sum_{n=2}^{+\infty} \frac{\sqrt{1+ \frac{1}{n}} - 1}{\sqrt{n} \log n} \sim \sum_{n=2}^{+\infty} \frac{1}{2n^{\frac{3}{2}} \log n} < \frac{1}{2} \sum_{n=2}^{+\infty} \frac{1}{n^{\frac{3}{2}}} \)

L'ultima scritta è la serie armonica generalizzata con $\alpha = 3/2 > 1 $, notoriamente convergente.

Detto ciò però se mi fosse stata proposta la serie $\sum_{n=2}^{+\infty} (\sqrt{n + 1} - \sqrt{n})/(n logn)$ io l'avrei risolta più elegantemente col criterio del confronto de-razionalizzando:

$\sum_{n=2}^{+\infty} (\sqrt{n + 1} - \sqrt{n})/(n log n) = \sum_{n=2}^{+\infty} (\sqrt{n + 1} - \sqrt{n})/(n log n) \cdot 1 = \sum_{n=2}^{+\infty} (\sqrt{n + 1} - \sqrt{n})/(n logn) \cdot \frac{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}} = $

$ = \sum_{n=2}^{+\infty}1/(n (\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}) log n) < \sum_{n=2}^{+\infty}1/(n (\sqrt{n} + \sqrt{n}) log n) = \sum_{n=2}^{+\infty}1/(n (2\sqrt{n}) log n) < \frac{1}{2} \sum_{n=2}^{+\infty} \frac{1}{n^{\frac{3}{2}}} $

Ovviamente si giunge alle medesime conclusioni già ottenute (serie proposta convergente).

[Mephlip]

$\sum_{n=2}^{+\infty}1/(n (2\sqrt{n}) log n) < \frac{1}{2} \sum_{n=2}^{+\infty} \frac{1}{n^{\frac{3}{2}}} $

Giusto un dettaglio: per \(n=2\) è falsa, perché \(\log 2 <1\). Bisogna procedere così:\[
\sum_{n=2}^{+\infty} \frac{1}{\left(n (2\sqrt{n}\right) \log n} =\frac{1}{4\sqrt{2}\log 2}+\sum_{n=3}^{+\infty} \frac{1}{\left(n (2\sqrt{n}\right) \log n} < \frac{1}{4\sqrt{2}\log 2}+ \frac{1}{2} \sum_{n=3}^{+\infty} \frac{1}{n^{3/2}}
\]

[Quasar3.14]

Grazie ragazzi.

È tutto chiaro, anche se l'esercizio si è complicato un bel po', solo questo passaggio non mi è chiaro

$ \lim_{n \to +\infty} (\sqrt(1+1/n) - 1)/(1/n) = 1/2 \implies $ \( \sqrt{1+\frac{1}{n}} - 1 \sim \frac{1}{2n} \)

Quindi si può scrivere:

\( \sum_{n=2}^{+\infty} \frac{\sqrt{1+ \frac{1}{n}} - 1}{\sqrt{n} \log n} \sim \sum_{n=2}^{+\infty} \frac{1}{2n^{\frac{3}{2}} \log n} < \frac{1}{2} \sum_{n=2}^{+\infty} \frac{1}{n^{\frac{3}{2}}} \)

Dopo l'applicazione del limite notevole, come si ottiene $1/2n$?

$1/2$ non è per limite che tende a zero? Perchè poi si "passa" a $ \lim_{n \to +\infty}$?