Ciao Quasar3.14,
$ \sum_{n=2}^N ((\sqrt(n+1) - \sqrt(n))/(nlogn)) $ è una serie numerica a termini positivi
No, quella proposta non è una serie, ma una semplice somma di termini positivi per $n$ che va da $2$ a $N$.
Il discorso è diverso se si considera $N \to +\infty $:
$\lim_{N \to +\infty} \sum_{n=2}^N (\sqrt(n+1) - \sqrt(n))/(n logn) = \sum_{n=2}^{+\infty} (\sqrt(n+1) - \sqrt(n))/(n logn)$
In tal caso l'ultima scritta sulla destra è una serie numerica a termini positivi e si ha:
$ \sum_{n=2}^{+\infty} (\sqrt(n+1) - \sqrt(n))/(nlogn) = \sum_{n=2}^{+\infty} (\sqrt(n(1+1/n)) - \sqrt(n))/(n logn) = \sum_{n=2}^{+\infty} (\sqrt(n)\sqrt(1+1/n) - \sqrt(n))/(n logn) = $
$ = \sum_{n=2}^{+\infty} (\sqrt(n)(\sqrt(1+1/n) - 1))/(n logn) = \sum_{n=2}^{+\infty} (\sqrt(1+1/n) - 1)/(\sqrt(n) log n)$
A questo punto asintoticamente parlando ha senso considerare il limite notevole $\lim_{x \to 0} ((1+x)^p - 1)/x = p $ che con $p := 1/2 $ e $x := 1/n $ si può scrivere $\lim_{n \to +\infty} (\sqrt(1+1/n) - 1)/(1/n) = 1/2 \implies $ \( \displaystyle \sqrt{1+\frac{1}{n}} - 1 \sim \frac{1}{2n} \)
Quindi si può scrivere:
\( \displaystyle \sum_{n=2}^{+\infty} \frac{\sqrt{1+ \frac{1}{n}} - 1}{\sqrt{n} \log n} \sim \sum_{n=2}^{+\infty} \frac{1}{2n^{\frac{3}{2}} \log n} < \frac{1}{2} \sum_{n=2}^{+\infty} \frac{1}{n^{\frac{3}{2}}} \)
L'ultima scritta è la
serie armonica generalizzata con $\alpha = 3/2 > 1 $, notoriamente convergente.
Detto ciò però se mi fosse stata proposta la serie $\sum_{n=2}^{+\infty} (\sqrt{n + 1} - \sqrt{n})/(n logn)$ io l'avrei risolta più elegantemente col
criterio del confronto de-razionalizzando:
$\sum_{n=2}^{+\infty} (\sqrt{n + 1} - \sqrt{n})/(n log n) = \sum_{n=2}^{+\infty} (\sqrt{n + 1} - \sqrt{n})/(n log n) \cdot 1 = \sum_{n=2}^{+\infty} (\sqrt{n + 1} - \sqrt{n})/(n logn) \cdot \frac{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}} = $
$ = \sum_{n=2}^{+\infty}1/(n (\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}) log n) < \sum_{n=2}^{+\infty}1/(n (\sqrt{n} + \sqrt{n}) log n) = \sum_{n=2}^{+\infty}1/(n (2\sqrt{n}) log n) < \frac{1}{2} \sum_{n=2}^{+\infty} \frac{1}{n^{\frac{3}{2}}} $
Ovviamente si giunge alle medesime conclusioni già ottenute (serie proposta convergente).