Salve a tutti,
vorrei porvi una domanda riguardo la delta di dirac
quanto viene \(\displaystyle \int_{-\infty }^{+\infty } |\delta(t)|^{2} dt \)
grazie in aticipo
Oiram92 ha scritto:Domanda interessante Risolviamo il limite nel senso delle distribuzioni, quindi :\(\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} |\delta(t)|^2\;dt = \int_{-\infty}^{+\infty} \delta(t)\cdot \delta(t)\;dt \)
risolvendo per parti si ha :\(\displaystyle = \left[u(t) \cdot \delta(t) \right]_{-\infty}^{+\infty} - \int_{-\infty}^{+\infty} \delta'(t)\;dt = - \int_{-\infty}^{+\infty} \delta'(t)\;dt \)
adesso considerando \(\displaystyle f(t) = \delta(t) \) e \(\displaystyle \phi(t)=1 \) dove \(\displaystyle \phi(t) \) è la funzione di prova (limitata) implicita in quell'integrale, allora per il teorema sulle derivate distribuzionali :\(\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} f'(t)\;\phi(t)\;dt = - \int_{-\infty}^{+\infty} f(t)\;\phi'(t)\;dt \)
quindi :\(\displaystyle - \int_{-\infty}^{+\infty} \delta'(t)\cdot 1\;dt = - \left(- \int_{-\infty}^{+\infty} \delta(t)\cdot 0\;dt \right) = 0 \)
kalos213 ha scritto:Però se chiamiamo \(\displaystyle x(t)=\delta(t) \) ne facciamo la trasformata di Fourier e calcoliamo l'integrale del modulo quadro nel dominio di Fourier si ha come risultato \(\displaystyle \infty \).
I due risultati non dovrebbero coincidere?
kalos213 ha scritto:Salve a tutti,
vorrei porvi una domanda riguardo la delta di dirac
quanto viene \(\displaystyle \int_{-\infty }^{+\infty } |\delta(t)|^{2} dt \)
grazie in aticipo
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