da gugo82 » 17/03/2017, 12:24
Beh, è una questione assai banale.
Infatti, la $f(x):=x^p$ con $p\ge 1$ è convessa (strettamente se $p>1$) in $[0,+oo[$ dunque per ogni $a,b\geq 0$ risulta:
\[
f\left( \frac{1}{2} a + \frac{1}{2} b\right) \leq \frac{1}{2}\ \Big( f(a) + f(b)\Big)
\]
cioè:
\[
(a+b)^p\leq C\ (a^p + b^p)
\]
con $C=2^{p-1}$ e disuguaglianza stretta solo se $p>1$ ed $a\ne b$.
Comunque, la cosa si può far discendere anche dalle disuguaglianze tra medie. Detta $M_1$ la media aritmetica e $M_p$ la media d'ordine $p$, cioè:
\[
M_1(a,b) := \frac{a+b}{2}\qquad \text{e}\qquad M_p(a,b) := \left( \frac{a^p + b^p}{2}\right)^{1/p}
\]
è noto che:
\[
M_1(a,b) \leq M_p(a,b)
\]
con disuguaglianza stretta solo se $p>1$ e $a\ne b$; da qui si trae la disuguaglianza richiesta sempre con $C=2^{p-1}$.
Sono sempre stato, e mi ritengo ancora un dilettante. Cioè una persona che si diletta, che cerca sempre di provare piacere e di regalare il piacere agli altri, che scopre ogni volta quello che fa come se fosse la prima volta. (Freak Antoni)