Continuità topologica

[Raptorista]

se è aperto allora la funzione nell'estremo del dominio assumerà valori che tendono al valore che la funzione assume nell'estremo

Questo è falso anche per funzioni reali di una variabile reale.

Per essere più preciso: è vero in senso letterale quello che hai scritto - è la definizione di funzione continua! - però non è vero che questo renda l'immagine un insieme aperto, nemmeno nel caso più semplice.

[javicemarpe]

Però per quanto riguarda la definizione di limite qualcuno è d'accordo o in disaccordo col mio appunto di vista? (Punto 1)

(Domani leggerò quello che hai scritto)

Regarding to this, I think that the eps-delta point of view is more intuitive, but not more operative. In any case, they all are equivalent in $\mathbb{R}^n$.

[antonio9992]

Se il dominio è chiuso per Weistrass la cosè vera

Questo è vero solo in dimensione finita e solo se ha senso parlare di massimo e minimo, cioè se il codominio è ordinato.

se è aperto allora la funzione nell'estremo del dominio assumerà valori che tendono al valore che la funzione assume nell'estremo

Questo è falso anche per funzioni reali di una variabile reale.

Si ovviamente parlo di funzioni reali dato che come ho detto di topologia poco ne so.

Hai ragione, infatti la funzione continua può avere massimi e minimi e non un estremo superiore anche se il dominio è un aperto

Quindi le funzioni continue posso mandare aperti in chiusi.

Però ciò non va contro la definizione topologica di continuità?

[antonio9992]

Per esempio la funzione y=x^2 per un dominio (-1,2] ha codominio [0,4]

Giusto?

[Raptorista]

Le funzioni continue possono mandare aperti in chiusi, anche in casi non banali: \(\sin ((0,2\pi)) = [-1,1]\). Anche il tuo esempio è corretto.

La definizione topologica dice che la controimmagine di un insieme aperto deve essere aperta. Intuitivamente questo significa che se ho una cosa chiusa non la posso spalmare in maniera continua fino ad ottenere qualcosa di aperto.

Con i segmenti questo significa che se la funzione è monotona allora un'estremità aperta deve necessariamente essere mappata in un'estremità aperta. Se così non fosse, allora la controimmagine del punto di bordo dovrebbe essere un punto interno del dominio [per definizione di aperto] e quindi contenere tutto un intorno, e allora i punti su uno dei due lati supererebbero il punto di bordo, il che è assurdo. Se la funzione non è monotona questo significa che non puoi "salire e scendere" in maniera continua senza realizzare un punto di massimo. È il teorema di Weierstrass.


Edit: Quello che ho scritto non è corretto, c'è da escludere il caso particolare di una funzione definita su tutto \(\mathbb R\), che ha la proprietà di essere sia un insieme chiuso sia un insieme aperto. Inoltre quello che ho scritto vale solo per funzioni da \(\mathbb R\) in \(\mathbb R\).

[antonio9992]

Però per quanto riguarda la definizione di limite qualcuno è d'accordo o in disaccordo col mio appunto di vista? (Punto 1)

(Domani leggerò quello che hai scritto)

Regarding to this, I think that the eps-delta point of view is more intuitive, but not more operative. In any case, they all are equivalent in $\mathbb{R}^n$.

Io penso che se mi avvicino a quel punto del dominio la funzione assume valori che tendono al valore della funzione nel punto

Con epsilon-delta mi sembra più una congruenza tra intervalli di domini e codominio che la funzione deve rispettare affinché possa valere la continuità

Tu come la vedi?

[Raptorista]

Per esempio la funzione y=x^2 per un dominio (-1,2] ha codominio [0,4]

Ho scritto che quest'esempio è corretto ma non l'avevo letto bene, perché non è corretto.
L'insieme di partenza non è un aperto e non è un chiuso, quindi non c'entra con quello di cui stiamo parlando.

[antonio9992]

Le funzioni continue possono mandare aperti in chiusi, anche in casi non banali: \(\sin ((0,2\pi)) = [-1,1]\). Anche il tuo esempio è corretto.

La definizione topologica dice che la controimmagine di un insieme aperto deve essere aperta. Intuitivamente questo significa che se ho una cosa chiusa non la posso spalmare in maniera continua fino ad ottenere qualcosa di aperto.

Con i segmenti questo significa che se la funzione è monotona allora un'estremità aperta deve necessariamente essere mappata in un'estremità aperta. Se così non fosse, allora la controimmagine del punto di bordo dovrebbe essere un punto interno del dominio [per definizione di aperto] e quindi contenere tutto un intorno, e allora i punti su uno dei due lati supererebbero il punto di bordo, il che è assurdo. Se la funzione non è monotona questo significa che non puoi "salire e scendere" in maniera continua senza realizzare un punto di massimo. È il teorema di Weierstrass.

Infatti ieri a questo pensavo, volevo partire dalla definizione topologica poi mi sono perso e mi è uscito di mente, il resto è sbagli

Grazie

[antonio9992]

Per esempio la funzione y=x^2 per un dominio (-1,2] ha codominio [0,4]

Ho scritto che quest'esempio è corretto ma non l'avevo letto bene, perché non è corretto.
L'insieme di partenza non è un aperto e non è un chiuso, quindi non c'entra con quello di cui stiamo parlando.

Scusa -1 non è compreso nel dominio ed è quindi un estremo inferiore del dominio, perché non è corretto?

[Raptorista]

Scusa -1 non è compreso nel dominio ed è quindi un estremo inferiore del dominio, perché non è corretto?

Stiamo parlando di immagini di aperti e immagini di chiusi. L'insieme \((-1,2]\) non è aperto perché \(2\) non è un punto interno e non è chiuso perché non contiene \(-1\) che è di accumulazione.