Dubbio su n!

[Matte]

Ciao, nello svolgere degli esercizi, in particolari limiti di successione, per poter riuscire a semplificare i calcoli, ho visto che esistono delle forme alternative, che però sono equivalenti. Volevo soltanto chiedere se qualcuno può spiegarmi il motivo di quei passaggi, cioè se c'è una regola sotto, che io sinceramente non conosco. Per spiegare meglio ciò che non capisco, scrivo sotto due passaggi che non ho capito, ma che secondo me attuano lo stesso procedimento..

1) caso:
$(n + 1)! = (n + 1) * n!$

2) caso:
$((2n + 1)!)/((2n - 1)!) = ((2n + 1) * (2n) * (2n - 1)!)/((2n - 1)!)$
(poi ovviamente questo passaggio è comodo per far semplificare sopra e sotto $(2n - 1)!$) però non capisco come ci arriva prima della semplificazione..

[pilloeffe]

Ciao Matte,

Non capisco cosa non capisci...

Per definizione si ha:

$n! := n(n - 1)! = n(n - 1)(n - 2)! = n(n - 1)(n - 2)(n - 3) \cdot... \cdot 1$

1) caso: sostituisci $n + 1$ al posto di $n$;
2) caso: sostituisci $2n + 1$ al posto di $n$...

[Matte]

credo di aver capito..
un'ultima cosa, ma come mai compare nel secondo caso $(2n - 1)$? (cioè come l'abbiamo ottenuto)
Io sinceramente in quel caso avrei scritto soltanto $(2n + 1) * (2n)$

[Anacleto13]

Come ha detto pilloeffe puoi continuare a sottrarre una costante aumentandola di uno ogni volta(per definizione).. in quel caso ti fermi a n-1 per semplificare con il denominatore ma potresti continuare all'infinito..

Per esempio se avessi avuto -3 al posto di -1

$((2n+1)!)/((2n-3)!)$

la successione sarebbe stata così:

$((2n+1)(2n)(2n-1)(2n-2)(2n-3)!)/((2n-3)!)$ e in quel caso semplificavi

[Matte]

adesso ho capito perfettamente il significato di quello che non capivo, grazie mille a entrambi!!