Salve a tutti! Vi scrivo nonostante abbia cercato e trovato molti post sull'argomento, questo perchè arrivo sempre ad avere qualche dubbio.
Avrei bisogno di una spiegazione for dummies, il meno matematica e rigorosa possibile ma il più intuitiva e magari figurativa di cosa si intenda per intervallo di definizione della soluzione.
Vorrei sapere anche un modo di procedere corretto e per non incappare in errori da applicare a tutti i problemi di cauchy, quasi meccanico..poi una volta capito bene mi verrà naturale..spero.
Intanto posto un PdC da me svolto con i ragionamenti che ho fatto:
$ { ( xy'+(y-1)/x=0 ),( y(-1)=2 ):} $
Allora ho notato che il dominio della x (che matematicamente non saprei come definirla..oltre che variabile indipendente) deve essere $(-oo,0) uu (0,+oo)$. Bene poi ho trovato le soluzioni costanti $y(x)=1$ (se fosse stato 2, cioè la condizione iniziale che sarebbe successo?).
Poi posto $y!=1$ divido per $y-1$ e ed integro per separare le variabili, trovando che l'integrale generale è $y(x)=1+ce^(1/x)$
Trovo c imponendo le condizioni iniziali $c=e$. E sostituisco nella soluzione dell'equazione: $y(x)=1+e^(1+1/x)$
Logicamente direi che essendo per le condizioni iniziale $y(-1) =2$ che l'intervallo della soluzione sia $(-oo,0)$ ...ma non ne sono sicura. poi su y non devo dire altro? è chiaro che ho confusione..grazie a chi mi aiuterà.