Limite con gli o-piccoli (dubbi)

[Matte]

Io devo calcolare questo limite:
$\lim_{x \to \0}1 - (cos(x^2 + 2x))/(tan (2x^2 + x^3))$
Questa è una forma indeterminata $0/0$
Usando le regole pseudo-algebriche degli o-piccoli ottengo:
$cos(y) = 1 - (y^2/2) + o(y^2)$ per $y$ tendente a zero
$sin(y) = y + o(y)$ per $y$ tendente a zero
Quindi:
$ 1 - cos(x^2 + 2x) = 1 - [ 1 - (((x^2 + 2x)^2)/2) + (o(x^2 + 2x)^2)]$
$ (2x + o(x))^2 /2+ o((2x + o(x))^2)$
$(2x + o(x))^2$
1) domanda: in questo passaggio bisogna solo elevare al quadrato oppure ci sono altri procedimenti sottintesi? E quindi ottengo $(4x^2 + o(x^2))/2 + o(4x^2 + o(x^2))$ ?
Per il resto in questa parte dovrebbe essere tutto chiaro e dovrebbe venire dopo vari calcoli $2x^2 + o(x^2)$ per X tendente a zero.
Invece nella seconda parte:
$tan (2x^2 + x^3) = (sin(2x^2 + x^3))/ (cos(2x^2 + x^3))$
2) domanda: perchè al denominatore $(cos(2x^2 + x^3))$ diventa $1 + o(1)$. Qualcuno potrebbe spiegarmi i calcoli che ci sono sotto affinchè diventi $1 + o(1)$ ?
Procedendo con vari calcoli ottengo:
$(2x + o(x))^2/(1 + o(1))$
3) domanda: Perchè $((2x + o(x))^2)/(1 + o(1))$ è equivalente a $((2x + o(x))^2) * (1 + o(1))$ Quale proprietà è stata usata?
Infine si dovrebbe ottenere $(2x^2 + o(x^2))$

Alla fine faccio: $\lim_{x \to \0}$$(2x^2 + o(x^2))$/$(2x^2 + o(x^2))$
Ultima domanda: Da quest'ultimo procedimento come mai diventa $(2 + o(1))/ (2 +o(1))$ (come siamo arrivati a quest'ultimo passaggio $(2 + o(1))/ (2 +o(1))$ ?)
Ovviamente poi si deduce che il limite fa 1.

[Seneca]

Secondo me l'hai fatta abbastanza più lunga di quello che serviva. Infatti facendo qualche osservazione sui limiti notevoli si concludeva rapidamente.

Comunque rispondo alle tue domande.

1) Sì.
2) Semplicemente il coseno non è infinitesimo per $x \to 0$ e quindi, anche se si potrebbe essere più precisi, è sufficiente scriverlo come $1 + o(1)$ ($o(1)$ è un termine infinitesimo per $x \to 0$).
3) Osserva che $\frac{1}{1 + y} = 1 + o(1)$ per $y \to 0$ (vedi sopra).

EDIT: All'ultimo passaggio si è giunti raccogliendo $x^2$ sia a numeratore che a denominatore, sfruttando le proprietà dell'o-piccolo $o(x^2) = x^2 o(1)$.

[Matte]

Quindi nella seconda domanda siccome coseno di zero fa 1, vado a sostituire con $1 + o(1)$?
un'ultima cosa, potresti spiegarmi meglio la terza domanda? (non riesco proprio a capire, ma forse per la stanchezza...)

[Seneca]

Sì. Per 3) si fa lo stesso indentico ragionamento che per 2), osservato che $\frac{1}{1 + y} - 1 \to 0$ per $y \to 0$.

[Matte]

Grazie mille, ora ho capito perfettamente!