integrale trascendente

[claus93]

salve a tutti ho questo integrale da risolvere

$\int e^x/{x+1}dx$

provando con la sostituzione $t=e^x rarr x=ln(t) rarr dx=dt/t$ ottengo

$\int 1/{ln(t)+1}dt$

per parti non mi sembra dia forme iterative, non so come andare avanti

[pilloeffe]

Ciao claus93,

Sicuro di aver scritto bene? L'integrale te l'ha assegnato il docente (e sei sicuro di essertelo correttamente appuntato) o te lo sei auto-proposto? Posso chiederti che corso stai seguendo? Ti faccio tutte queste domande perché l'integrale che hai proposto è solo apparentemente semplice, ma in realtà la sua soluzione coinvolge la funzione speciale esponenziale integrale $Ei(x)$...
Solo per iniziare a risolverlo, comincerei col porre $t := x + 1$...

[claus93]

Ciao claus93,

Sicuro di aver scritto bene? L'integrale te l'ha assegnato il docente (e sei sicuro di essertelo correttamente appuntato) o te lo sei auto-proposto? Posso chiederti che corso stai seguendo? Ti faccio tutte queste domande perché l'integrale che hai proposto è solo apparentemente semplice, ma in realtà la sua soluzione coinvolge la funzione speciale esponenziale integrale $Ei(x)$...
Solo per iniziare a risolverlo, comincerei col porre $t := x + 1$...

ciao...
la mia domanda è se è risolvibile con i metodi di analisi 1 o, come hai fatto vedere tu, ricorrendo a funzioni speciali. avevo trovato anche io qualcosa in merito, risolvendolo con wolfram, ma cerco qualcosa di più formale.

[pilloeffe]

Ciao claus93,

la mia domanda è se è risolvibile con i metodi di analisi 1

Beh, se vuoi sapere la mia opinione quello che hai proposto non è un integrale da Analisi I. D'altronde è anche vero che la funzione integrale $Ei(x)$ è una funzione integrale come un'altra e le funzioni integrali si trattano in Analisi I, qualche volta senza sapere che si tratta di funzioni speciali, che di solito si trattano nei corsi più avanzati: per esempio nel mio caso la funzione in questione l'ho vista (e anche poco...) nell'esame di Complementi di Matematiche (che oggi probabilmente ha un nome più "esotico", tipo Analisi III o Analisi Complessa, etc., ma il concetto è quello...).

Detto quanto sopra, se poni $t := x + 1$ come ti ho suggerito nel mio post precedente e tieni presente la definizione di $Ei(x)$, dovresti riuscire a risolverlo.

[claus93]

perfetto ti ringrazio....sei stato gentilissimo!

[pilloeffe]

Ma di niente, figurati... Anzi, guarda, per non lasciare l'integrale proposto in sospeso, lo risolviamo: poi decidi tu se è adatto a ciò che stai studiando.

Posto $t := x + 1 \implies dt = dx$, si ha:

$\int frac{e^x}{x+1} dx = \int frac{e^{t - 1}}{t} dt = frac{1}{e}\int frac{e^{t}}{t} dt$

Ora, osservando che per definizione di integrale indefinito si può scrivere

$\int frac{e^{t}}{t} dt = \int_{t}^{+\infty} frac{e^{u}}{u} du + k = Ei(t) + k$

essendo $k$ una costante, si ha:

$frac{1}{e}\int frac{e^{t}}{t} dt = frac{1}{e} Ei(t) + c$

ove si è posto $c := k/e$. In definitiva, ricordando che $t := x + 1$, si ha:

$\int frac{e^x}{x+1} dx = frac{1}{e}\int frac{e^{t}}{t} dt = frac{Ei(t)}{e} + c = frac{Ei(x + 1)}{e} + c$

che probabilmente è il risultato che hai visto su WolframAlpha.