studio della funzione integrale

[salvolaiacona]

Salve a tutti,sto facendo questo "nuovo" tipo di integrali e studio di funzione,e ho qualche difficoltà,sopratutto per quanto riguarda i limiti alla frontiera e il calcolo degli asintoti.
La funzione è:
$ f(x) = \int_0^x 1/(sqrt((2-t)t)) dt $

come prima cosa trovo il dominio,che dovrebbe essere(se non ho sbagliato $ 0 < t < 2 $
da qui in poi mi blocco,devo calcolare i limiti alla frontiera ma non so se effettivamente sto facendo bene,la mia idea è quella di calcolare :
$ \lim_{x \to \2}\int_0^x 1/(sqrt((2-t)t)) dt = \int_0^2 1/(sqrt((2-t)t)) dt $
Sto facendo bene?Da qui in poi come si dovrebbe procedere?
Ecco questi sono i miei dubbi,spero che qualcuno mi possa aiutare,grazie anticipatamente.

[NoSignal]

Si ha che $(0,2)$ è il dominio della funzione integranda, ma siccome è infinita attorno a $0$ e l'integrale ha come estremo di integrazione $0$, devi verificare che è un integrale convergente e lo è perché l'integranda è asintotica a $\frac{1}{sqrt(t)}$, e lo stesso vale attorno a $2$, quindi possiamo affermare che il dominio della funzione è $[0,2]$, hai che tali limiti sono positivi poiché la funzione integrande è strettamente positiva e per calcolare il valore esatto potresti provare a risolvere l'integrale indefinito associato.Per calcolare gli asintoti usa la regola di De'l'hopital spezzando però l'integrale.

[salvolaiacona]

Innanzitutto grazie della risposta,ma non ho capito una cosa,come si fa a dire che la funzione è asintotica a $ 1/sqrtt $?
Cioè secondo quale criterio?

[NoSignal]

Per calcolare gli asintoti usa la regola di De'l'hopital spezzando però l'integrale.

Perdonami ma ho scritto una sciochezza: il dominio è limitato pertanto non ha senso parlare di asintoti.

Innanzitutto grazie della risposta,ma non ho capito una cosa,come si fa a dire che la funzione è asintotica a $ 1/sqrtt $?
Cioè secondo quale criterio?

Lo si vede ad occhio ma se non ti convince prova a fare il limite del rapporto per $t$ che tende a $0$, vedrai che è finito.
Attorno a $2$ la funzione è asintotica a $\frac{1}{sqrt(2-t}$(che analogamente a $\frac{1}{sqrt(t)}$ che è integrabile attorno a $0$) è integrabile attorno a $2$.

[salvolaiacona]

Per calcolare gli asintoti usa la regola di De'l'hopital spezzando però l'integrale.

Perdonami ma ho scritto una sciochezza: il dominio è limitato pertanto non ha senso parlare di asintoti.

Innanzitutto grazie della risposta,ma non ho capito una cosa,come si fa a dire che la funzione è asintotica a $ 1/sqrtt $?
Cioè secondo quale criterio?

Lo si vede ad occhio ma se non ti convince prova a fare il limite del rapporto per $t$ che tende a $0$, vedrai che è finito.
Attorno a $2$ la funzione è asintotica a $\frac{1}{sqrt(2-t}$(che analogamente a $\frac{1}{sqrt(t)}$ che è integrabile attorno a $0$) è integrabile attorno a $2$.

Quindi il fatto di fare il limite per x->2 come avevo detto non è del tutto sbagliato?(con il solo fatto che devo considerare la funzione asintotica?)
con limite del rapporto intendi
$\lim_{t \to \0} 1/(sqrt((2-t)t)) * sqrt(t) = 1/sqrt2 $ giusto?
Quindi essendo finito le due sono asintotiche e quindi deduco che hanno stesso carattere per quanto riguarda l'integrabilità in 0 no?
altra puntualizzazione solo per vedere se ho capito bene, $ 1/sqrtt $ è integrabile in 0 perchè?
Non linciarmi ma ho pensato che ciò è possibile perchè integrando quest'ultimo si ottiene $ 2sqrtt $ e passando a l limite si trova un numero finito,giusto il mio "ragionamento" o sbaglio?

[NoSignal]

Quindi il fatto di fare il limite per x->2 come avevo detto non è del tutto sbagliato?(con il solo fatto che devo considerare la funzione asintotica?)

non è che sbagliato, però stai dando per scontato il fatto che attorno a $0$ l'integrale converge, solo dopo aver verificato questo puoi procedere e calcolarti il limite per $x$ tendente a $2$ e verificare se può essere "prolungata per continuità" appunto su $2$.

con limite del rapporto intendi
$ \lim_{t \to \0} 1/(sqrt((2-t)t)) * sqrt(t) = 1/sqrt2 $ giusto?
Quindi essendo finito le due sono asintotiche e quindi deduco che hanno stesso carattere per quanto riguarda l'integrabilità in 0 no?

Esatto

altra puntualizzazione solo per vedere se ho capito bene, $ 1/sqrtt $ è integrabile in 0 perchè?
Non linciarmi ma ho pensato che ciò è possibile perchè integrando quest'ultimo si ottiene $ 2sqrtt $ e passando a l limite si trova un numero finito,giusto il mio "ragionamento" o sbaglio?

Sì il tuo ragionamento è esatto però ne deduco che tu non sappia un fatto abbastanza basico sugli integrali generalizzati, lo scrivo sotto forma di enunciato ma è sicuramente scritto sotto forma di esercizio in qualsiasi libro di analisi:

Sia $f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}$ definita ponendo $f(x)=\frac{1}{x^\alpha}$ con $\alpha\in\mathbb{R}$ allora si ha che:
-$f$ è integrabile attorno a $0$ se e solo se $\alpha< 1$
-$f$ è integrabile attorno a $+\infty$ se e solo se $\alpha> 1$

Puoi verificare tu stesso, si tratta di funzioni elementari con integrale indefinito immediato.

[salvolaiacona]

Quindi il fatto di fare il limite per x->2 come avevo detto non è del tutto sbagliato?(con il solo fatto che devo considerare la funzione asintotica?)

non è che sbagliato, però stai dando per scontato il fatto che attorno a $0$ l'integrale converge, solo dopo aver verificato questo puoi procedere e calcolarti il limite per $x$ tendente a $2$ e verificare se può essere "prolungata per continuità" appunto su $2$.

con limite del rapporto intendi
$ \lim_{t \to \0} 1/(sqrt((2-t)t)) * sqrt(t) = 1/sqrt2 $ giusto?
Quindi essendo finito le due sono asintotiche e quindi deduco che hanno stesso carattere per quanto riguarda l'integrabilità in 0 no?

Esatto

altra puntualizzazione solo per vedere se ho capito bene, $ 1/sqrtt $ è integrabile in 0 perchè?
Non linciarmi ma ho pensato che ciò è possibile perchè integrando quest'ultimo si ottiene $ 2sqrtt $ e passando a l limite si trova un numero finito,giusto il mio "ragionamento" o sbaglio?

Sì il tuo ragionamento è esatto però ne deduco che tu non sappia un fatto abbastanza basico sugli integrali generalizzati, lo scrivo sotto forma di enunciato ma è sicuramente scritto sotto forma di esercizio in qualsiasi libro di analisi:

Sia $f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}$ definita ponendo $f(x)=\frac{1}{x^\alpha}$ con $\alpha\in\mathbb{R}$ allora si ha che:
-$f$ è integrabile attorno a $0$ se e solo se $\alpha< 1$
-$f$ è integrabile attorno a $+\infty$ se e solo se $\alpha> 1$

Puoi verificare tu stesso, si tratta di funzioni elementari con integrale indefinito immediato.

grazie nuovamente della risposta ma io personalmente sul mio libro non ho trovato nulla a riguardo la tua ultima "definizione".Comunque sto provando a farne qualcuna del genere e vorrei sapere se effettivamente ho capito bene :
$ f(x) = int_0^x 1/((t+1)(sqrtt)) $

1) per quanto riguarda il dominio della funzione integranda dovrebbe essere $ t > 0 $ cioè $ ]0,+∞[ $
sul web ho trovato qualcosa per quanto riguarda la tua ultima regola che mi avevi definito.
e ho dedotto(spero senza sbagliare) che

per $ t->0 $ allora $ 1/((t+1)(sqrtt)) ~= 1/(sqrtt)$ e dovrebbe essere sommabile dato che $ 1/2 < 1$
per $ t->+∞ $ allora $ 1/((t+1)(sqrtt)) ~= 1/(t+1) $ e dovrebbe essere non sommabile dato che $ 1>= 1 $
Ho sbagliato qualcosa?
Quindi il dominio della funzione f(x) è $ [0,+∞[ $ ?
poi il testo dice di determinare se la funzione è limitata nel dominio e se studiare la derivata e determinare il segno della derivata.
Per capire se è limitata come dovrei fare?
Per la derivata devo considerare direttamente l'integranda con la "x al posto della t" e poi studiare la derivata normalmente?