Studio del carattere di una serie

[frankego]

Salve a tutti ragazzi, non riesco a risolvere questa serie che pare essere semplice. Applicando i metodi che conosco attualmente risultano tutti inconcludenti. La serie è questa (va da 1 ad infinito):

$ sum frac{\sqrt{k+2} - \sqrt{k}}{k} $

Ho provato il metodo del rapporto ma ridà 1 quindi è inconcludente. Utilizzando il metodo del confronto con la serie armonica, risulta essere maggiorante di quella convergente e minorante di quella divergente, e quindi anche qui non posso dire niente. Anche utilizzando il confronto asintotico non ho risolto niente. Cosa mi sfugge?

Grazie per l'aiuto

[pilloeffe]

Ciao frankego,

La serie converge, infatti si ha:

$sum_{k = 1}^{+\infty} frac{\sqrt{k+2} - \sqrt{k}}{k} = sum_{k = 1}^{+\infty} frac{(\sqrt{k+2} - \sqrt{k})(\sqrt{k+2} + \sqrt{k})}{k(\sqrt{k+2} + \sqrt{k})} = sum_{k = 1}^{+\infty} frac{2}{k(\sqrt{k+2} + \sqrt{k})} < 2 sum_{k = 1}^{+\infty} frac{1}{k^{3/2}$

e l'ultima scritta è la serie armonica generalizzata con $\alpha = frac{3}{2}$ che è convergente.

[frankego]

Grazie mille non avevo pensato a semplificarla così

Un ultima cosa, come sei giunto da

$ sum_{k = 1}^{+\infty} frac{2}{k(\sqrt{k+2} + \sqrt{k})} $
all'armonica generalizzata $ 2 sum_{k = 1}^{+\infty} frac{1}{k^{3/2} $ ??

[pilloeffe]

Semplice, eliminando proprio il termine $sqrt{k + 2}$ a denominatore... D'altronde la disequazione

$frac{2}{k(\sqrt{k+2} + \sqrt{k})} < frac{2}{k\sqrt{k}} = frac{2}{k^{3/2}}$

è verificata $\AA k \ge 1$.

[frankego]

Sei il migliore, grazie mille per il tuo tempo!