salve a tutti vorrei un aiuto per questa serie,presenta un parametro reale,ho provato a studiarla e vorrei chiarire i miei dubbi e sapere se effettivamente ho creato un filo logico che renda corretti i miei passaggi.
la serie in questione è : $ \sum_{n=1}^\infty x^n/((2sqrtn)+1) $
come prima cosa ho studiato l'assoluta convergenza mettendo il valore assoluto alla x,sono arrivato alla conclusione che la serie converge se $ |x|<1 $ (spero sia corretto) usando il criterio della radice,non ho fatto altro che uscire la x dalla radice e poi svolgere il limite che dovrebbe risultare 1,e considerando la x trovo il risultato scritto in precedenza.Poi (anche seguendo un esercizio svolto dal prof)ho considerato i vari casi,cioè :
-se $ |x|>1 $ la serie diverge;
-se x = 1 trovo $\sum_{n=0}^\infty 1/((2sqrtn)+1)$ da confrontare asintoticamente con $1/(2sqrtn) $;
-se x= -1 trovo una serie a termini con segno alterno(da studiare con Liebnitz);
mentre ii casi che mi ha messo in difficoltà è x<-1 e x>1,non saperi proprio cosa fare.Spero di essere stato chiaro (e chi i passaggi descritti siano corretti) e che qualcuno mi possa dare una mano,grazie anticipatamente.