Una serie che non riesco proprio a risolvere!

[Saltae]

Salve, sono bloccato da una settimana su questa serie tratta da un esame della facoltà di ingegneria aerospaziale, ho provato con gli sviluppi di Taylor, con il criterio della radice ed ancora altri criteri ma non riesco veramente a venirne a capo, secondo me sbaglio io qualcosa nei passaggi, potete aiutarmi per favore? La serie è :Serie che va da 1 all'infinito di ((1-Sin(1/n))^(n^2))/(1+(ln(n)/sqrt(n))^n). (Scusate se non ho saputa scriverla meglio, ringrazio anticipatamente tutti quelli che cercheranno di aiutarmi, il testo dell'esame diceva di studiare la convergenza della serie.)

[pilloeffe]

Ciao Saltae,

Benvenuto sul forum!

Dunque, se ho capito bene la serie che hai proposto è la seguente:

$sum_{n = 1}^{+\infty} frac{(1-sin(1/n))^(n^2)}{1+(ln(n)/sqrt(n))^n} $

Si ha:

$sum_{n = 1}^{+\infty} frac{(1-sin(1/n))^(n^2)}{1+(ln(n)/sqrt(n))^n} < sum_{n = 1}^{+\infty} frac{(1-sin(1/n))^(n^2)}{1} = sum_{n = 1}^{+\infty} (1-sin(1/n))^(n^2) $

e l'ultima serie scritta converge per il criterio della radice. Pertanto la serie proposta è convergente.
Non semplicissimo, ma neanche insormontabile...

EDIT: corretto dopo le giuste osservazioni di otta96

[otta96]

Dovresti provare a scrivere le formule seguendo le istruzioni che puoi trovare qui: viewtopic.php?f=18&t=26179, ti assicuro che è più facile di quanto sembra!
Nel tuo caso dovrebbe venire così: $\sum_{n=1}^infty ((1-sin(1/n))^(n^2))/(1+(lnn/sqrtn)^n)$, fammi sapere se ho capito bene il testo dell'esercizio.

[otta96]

A quanto pare sono stato preceduto, per di più con una risposta più esauriente!

[otta96]

Ciao Pilloeffe, leggendo il tuo messaggio ho visto un passaggio che non mi convince molto, questo: $1-sin(1/n)<(1/n^2)$, non mi sembra corretto, non è mica un coseno!

[otta96]

Io una volta arrivato qui

$sum_{n = 1}^{+\infty} frac{(1-sin(1/n))^(n^2)}{1} $

applicherei il criterio della radice ottenendo $\lim_{n \to +\infty}(1-sin(1/n))^n$, a questo punto si verifica che questo limite tende ad $1/e$ (lo si può vedere scrivendo il termine n-esimo nella forma $e^(nln(1-sin(1/n)))$), allora la serie proposta è convergente.

[pilloeffe]

Sì scusate, ovviamente ha ragione otta96 che giustamente non me la passa... Correggo!

applicherei il criterio della radice ottenendo $lim_{n \to +infty}(1−sin(1/n))^n$

Segnalo sommessamente che, una volta arrivati qui, è decisamente più rapido osservare che \( \displaystyle \sin(1/n) \sim 1/n \) per $n \to +\infty$, in modo da ottenere direttamente un limite notevole:

$lim_{n \to +infty}(1 − 1/n)^n = e^{-1}$

che è il caso particolare in cui $a = - 1$ del limite notevole seguente:

$lim_{n \to +infty}(1 + a/n)^n = e^{a}$

[Saltae]

Vi ringrazio innanzitutto della tempestività e della gentilezza, non era una serie insormontabile per davvero, solo che non sapevo proprio con quale criterio approcciarmi, mi sa che mi conviene rivedermi un pò i criteri, grazie ancora e ciao!