Integrale di volume cono cerchio piano

[markwalter]

Salve, non riesco proprio a risolvere questo integrale (appello di febbraio 2017 analisi 2 ingegneria dell'informazione padova)

\( \displaystyle V = x^2 + y^2 - 4x \le 0, \quad y \le x \le 2, \quad 0 \le z \le \sqrt{x^2 +y^2} \)
\( \displaystyle \iiint_V{y dxdydz} \)

Io procedo dicendo che il dominio è z semplice quindi scrivo

\( \displaystyle \iiint_V{y dxdydz} =\iint_\omega{\sqrt{x^2+y^2}} \)

e quindi procedo passando alle cilindriche

\( \displaystyle x = 2 +r*cos(\theta) \quad y = r*sin(\theta) \)

dico poi che \( \displaystyle 0\le r \le2 \)

e dalla equazione \( \displaystyle x \le 2 \) ricavo che \( \displaystyle -\frac{\pi}{2} \le \theta \le \frac{\pi}{2} \)

e dalla seconda parte dell' equazione non riesco a capire cosa fare! cioè di \( \displaystyle y \le x \)

Ho provato a porgere l'equazione e a trovare una condizione di \( \displaystyle \theta \) ma non ne vengo fuori, per il resto l'impostazione dell'integrale mi risulta facile, ma non riesco proprio a fare questa parametrizzazione, sarò sicuramente io stupido a non notare l'evidenza ma mi servirebbe proprio qualcuno che mi facesse aprire gli occhi

p.s. il risultato è \( \displaystyle -8 \sqrt{2}/5 \)

[Ziben]

Ciao,
Hai provato a farti un disegno della regione piana rappresentata da $x^2+y^2-4x\leq0$ e $y\leq x \leq 2$? Vedrai che non occorre passare in coordinate polari. Ti lascio l'immagine che mi sono fatto io per tuo confronto

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Click sull'immagine per visualizzare l'originale

[sandroroma]

Se può servire ti indico il dominio d'integrazione.
In coordinate cilindriche risulta:
$-pi/2<=\theta<=pi/4$
$0<=r<=4\cos\theta$
$0<=z<=r$