Serie di Taylor e Raggio di Convergenza

[TheSnatch]

Salve a tutti, purtroppo ho problemi a risolvere questo esercizio in cui devo trovare i primi termini dello sviluppo in serie di Taylor $Z_0=0$ e dopodiché trovare il raggio di convergenza. Vi chiedo gentilmente aiuto per venirne a capo
$e^(1-z^2)/(1-z)$

Grazie mille

[pilloeffe]

Ciao TheSnatch,

Farei così:

$f(z) = e^(1-z^2)/(1-z) = (1 + z) frac{e^{1-z^2}}{1 - z^2} = e(1 + z) frac{e^{-z^2}}{1 - z^2} = $
$ = e(1 + z) \sum_{k = 0}^{+\infty} z^{2k} \sum_{k = 0}^{+\infty} (-1)^k frac{z^{2k}}{k!} = e(1 + z) \sum_{k = 0}^{+\infty} c_k z^{2k} $

ove $c_k := \sum_{j = 0}^{k} frac{(-1)^{k - j}}{(k - j)!}$; $|z^2| < 1 \implies |z| < 1$. Dopo qualche semplice conto si trova
$c_0 = 1$
$c_1 = 0$
$c_2 = frac{1}{2!} $
$c_3 = frac{1}{3!} $
$\vdots$

Moltiplicando il tutto per $(1 + z)$, in definitiva lo sviluppo in serie di Taylor in $z_0 = 0$ che si ottiene è il seguente:

$f(z) = e(1 + z + frac{z^4}{2!} + frac{z^5}{2!} + frac{z^6}{3!} + frac{z^7}{3!} + ... )$

per $|z| < 1$.