Somma Per Blocchi, sommabilità

[NoSignal]

Ho un problema con una caratterizzazione delle funzioni sommabili.
Sul mio libro una funzione $f:S\to\mathbb{K}$, dove $\mathbb {K}=\mathbb{R},\mathbb{C}$, si dice sommabile su $S$ con somma $\alpha$ se per ogni $\epsilon>0$ esiste un sottoinsieme finito di $S$, $F_{\epsilon}$, tale che:
$|\sum_F f -\alpha|<\epsilon$ per ogni $F\subseteq S$ finito che contiene $F_{epsilon}$

La caratterizzazione è la seguente(che esprime anche l'associatività infinita delle famiglie sommabili):

Sia $(S_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$ una partizione di $S$, allora $f:S\to\mathbb{K}$ è sommabile su $S$ se e solo se $f_{|S_{\lambda}}$ è sommabile su $S_{\lambda}$ per ogni $\lambda\in\Lambda$ e in tal caso vale $sum_S f=\sum_{\lambda\in\Lambda}(\sum_{S_{\lambda}} f_{|S_{\lambda}})$.

Non ho avuto difficolta a provare "$\Rightarrow$"
Per quanto riguarda la "$\Leftarrow$" ho dei dubbi sul fatto che sia effettivamente vero e ho trovato un controesempio:
considero la funzione costante $f:\mathbb{N}\to\mathbb{R}$ definita ponendo $f(n)=1$ per ogni $n\in\mathbb{N}$.
Tale funzione non è sommabile su $\mathbb{N}$ perché si verifica che in questo particolare caso $f$ è positiva e l'eventuale somma è il $\mbox{sup}\{\sum_F f: F\subseteq S, F \mbox{ finito}\}$, che quindi non è finito.
Però è evidente che se prendo come partizione di $\mathbb{N}=\{1,2,3\}\cup\{4,5,6\}\cup...$, allora $f$ è sommabile su ogni blocco.

Cosa mi sta sfuggendo?

[dissonance]

Buh, non è che abbia capito bene, francamente (mi paiono cose un poco astruse, detto tra noi), ma a lume di naso \(f\) deve essere sommabile su ogni blocco e poi bisogna pure fare la somma su tutti i blocchi. Perciò trovi \(3+3+3\ldots = \infty\).

[NoSignal]

Il Libro che sto leggendo è Analisi 2 Vol.1-Giuseppe De Marco, è molto chiaro solo che c'è questa cosa che mi puzza, soprattutto perché poi la usa per dimostrare altre cose che diventano corollari immediati.