Derivazione.

[anto_zoolander]

Mi è sorto un dubbio che in realtà riguarda più la topologia che la derivazione.
prendiamo $RR^n$ come spazio metrico e lo dotiamo della struttura affine.
Sia $AsubsetRR^n$ un sottoinsieme non vuoto e aperto e una funzione(magari anche continua) $f:A->RR^n$

Ora ovviamente diremo che dato un punto $x inA$ la funzione $f$ è derivabile lungo la direzione $vec(v),||vec(v)||=1$ in $x$ se esiste finito il limite

$lim_(t->0)(f(x+tvec(v))-f(x))/t$

Ora il fatto che $x inA$ e che $A$ sia aperto mi dice che $existsr>0:B(x,r)subseteqA$
Da questo si ottiene facilmente che posto $B={t inRR:x+tvec(v) inA}$ è sicuramente non vuoto ed e tale per cui contiene l’intervallo $(-r,r)$ poichè di fatto $||x+tvec(v)-x||=|t|*||vec(v)||=|t|$ e se $|t|<r$ allora $x+tvec(v) inA$

Pertanto è ben definita la funzione:

$g(t)=(f(x+tvec(v))-f(x))/t,forall t in(-r,r)setminus{0}$

Ora possiamo notare che il punto $0$ è di accumulazione per il dominio di $g$ pertanto possiamo effettuare il limite in $0$, che se esiste, sarà la sua derivata.

Da questo si può dedurre che $x$ sia un punto di accumulazione per l’insieme $A$?

[Plepp]

$A$ è aperto...quindi $x$ è di accumulazione per $A$, a prescindere da ciò che hai scritto.

[anto_zoolander]

Così però è triste ahahahah
Il discorso è che non riesco a mostrarlo

[Plepp]

Ma come no Anto'?

Devi mostrare che ogni intorno $U$ di $x$ contiene un almeno punto di $A$ diverso da $x$; sai che esiste $B:=B(r,x)\subseteq A$. Se $U$ è un intorno di $x$, esiste $B':=B(r',x)\subseteq U$: dato che $B\cap B'\setminus\{x\}\ne \emptyset$ (questo è facilissimo), abbiamo finito...

[dissonance]

Certo che ti sei proprio fissato con questi cacchi di punti di accumulazione

[anto_zoolander]

@plepp
Ma che ne so! Ogni tanto vedo delle cose e mi si annulla la voglia di ragionare.
È che nella mia testa lo vedo come ovvio e quindi poi mi annoio a ragionarci su

@dissonance
A tempo perso importuno la topologia.

[killing_buddha]

A tempo perso importuno la topologia.

Importuna la topologia vera, no sta roba da analisti in salmì!

[anto_zoolander]

Ma sto preparando analisi 2 per ora, quindi mi sto concentrando sulla topologia indotta da una metrica

[Plepp]

Beh se non sei riuscito a buttar giù la "dimostrazione" forse tanto ovvio non ti risultava E' ovvio, secondo me, quando immaginando la situazione in un caso particolare e, filtrando da questo tutte le informazioni superflue (il che può essere più o meno complicato), riesci a dedurre la validità della proprietà che ti interessa nel caso generale.

Detto ciò, visto che ti piace generalizzare: che tutti i punti di un aperto sono di accumulazione è vero in $RR^n$ perché le palle contengono infiniti punti diversi dal loro centro, in quanto esistono punti arbitrariamente vicini a un punto dato¹ (banale: dato $x$, il punto $x+\varepsilon v$ con $v$ di norma $1$ è a distanza $\varepsilon$ da $x$). Lo stesso discorso puoi farlo in un generico spazio vettoriale normato di dimensione qualunque. Non c'è invece un motivo a priori per cui le palle in un generico spazio metrico debbano contenere punti diversi dal loro centro, per cui nell'ambito degli spazi metrici non si può dire che i punti di un aperto sono tutti di accumulazione. A maggior ragione non puoi dirlo se ti trovi in un non meglio precisato spazio topologico.

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Note

1. Se non sbaglio si dà un nome preciso a questa proprietà, ma proprio non ricordo. ↑

[dissonance]

Tutto questo parlare di palle mi fa venire in mente una citazione di una professoressa di geometria, che un giorno disse in classe:

Sto pensando alle palle

e gli studenti si sono scompisciati

P.S.: Non è accaduto a Bari, me l'hanno raccontato