Funzione continua

[daenerys]

Sia $f: R -> R$ continua, esiste $lim_(x-> ((+-) ∞)) f(x) = l in R$

a) f è limitata?
b) f ammette massimo e minimo?
c) f ammette almeno uno tra max e min?
d) esiste f che non ha ne max ne min?

Allora iniziando dal punto a): Per la limitatezza devo dimostrare che la f(x) in modulo è minore di una certa costante, tuttavia utilizzando la definizione di limite di funzione che tende a $+-$ infinito non riesco a risolvere nulla, però so che la funzione è continua su tutto R e che il valore quindi della f in $+-$ infinito è proprio l, ciò non mi dice nulla vero? perché la l non è per forza una costante..
Per gli altri punti penso che dovrei ragionare in base al teorema di Weierstrass però, posso dire che se una funzione è continua su tutto R in particolare è continua su un sottoinsieme chiuso e limitato di R e quindi esistono lì un massimo ed un minimo?

[Plepp]

Ci sei, ci sei: la definizione di limite, per $\epsilon =1$ ad esempio, ti dice che $|f(x)-l|<1$ per $|x|>M$, da cui $|f(x)|<C$ con
\[C=\max\{|l-1|,|1+l|\}\]
per $|x|>M$.

In $[-M,M]$, poi, la funzione è continua, quindi...

[daenerys]

In [-M, M] la funzione è continua e siccome l'intervallo è chiuso e limitato, allora ammette massimo e minimo quindi il punto b) e c) direi che è ok. Giusto?
Per il punto d) dovrei trovare un controesempio?

Comunque l'unica cosa che non capisco proprio bene è il passaggio in cui poni $|f(x)| < C$ prendendo la C come quel massimo cioè dalla definizione ottengo $ l-1 < f(x) < 1+l$
Quindi alla fine ottengo che è limitata in [-M,M]

[Plepp]

No, non ci siamo capiti. Forse sono stato un po' troppo sintetico.

La definizione di limite ti dice che, per $\epsilon=1$, esiste un $M>0$ tale che per ogni $x$ tale che $|x|>M$ si ha:
\[|f(x)-l|<1\]
Poi:
\[|f(x)-l|<1\implies -1<f(x)-l<1\implies l-1<f(x)<l+1\]
Ora, fissato $x\in (-\infty,-M)\cup (M,+\infty)$, se $f(x)\ge 0$ si ha
\[|f(x)|=f(x)<l+1=|l+1|,\]
mentre se $f(x)\le 0$ si ha
\[|f(x)|=-f(x)<-(l-1)=|l-1|.\]
Quindi, se chiami $C$ il più grande tra i valori $|l-1|$ e $|l+1|$, si ha $|f(x)|<C$ per ogni $x$ tale che $|x|> M$. Fin qui abbiamo dimostrato che $f$ è limitata nell'insieme $(-\infty,-M)\cup (M,+\infty)$.

D'altra parte Weierstrass ti dice che la $f$ è limitata anche in $[-M,M]$, cioè esiste $C'$ tale che $|f(x)|<C'$ per $x\in [-M,M]$. La costante $K:=\max\{C,C'\}$ è quella che va bene per ogni $x\in RR$.

Quanto agli altri punti: se lasci perdere un attimo la dimostrazione formale e immagini un po' il grafico che può avere la $f$, non fai fatica a renderti conto che l'unico punto a cui puoi dare risposta affermativa è la (c). Per dimostrare che (b) ha risposta negativa, fai un esempio. (d) è automaticamente falsa in base al punto (c).

Per dimostrare (c) io distinguerei un po' di casi e ricalcherei la dimostrazione del teorema di Weierstrass (o cercherei di riciclare il teorema stesso).

[daenerys]

Oh capitoo!Grazie infinite

[Plepp]

Prego