Passaggi di derivazione

[jadawin]

Buongiorno a tutti,

se ho una funzione del tipo:

\( y = 3\varkappa / \sqrt[3]{\varkappa -1} \)

e voglio ricavare la sua derivata nei singoli passaggi elementari, ricordando che :

\( u=3\varkappa ; v=(1/\sqrt[3]{\varkappa -1});y' = uv' +u'v \)

la sua risoluzione dovrebbe essere:

\( y = 3\varkappa ; y'= 3 \)

e

\( y=\frac{1}{\sqrt[3]{\varkappa -1}};y' = \frac{1}{v^2}v';y'=\frac{1}{\sqrt[9]{\varkappa -1}}\sqrt[3]{\varkappa -1} \)

per cui seguendo la formula detta prima:

\( y'=3\varkappa (\frac{\sqrt[3]{\varkappa -1}}{\sqrt[9]{\varkappa -1}})+\frac{3}{\sqrt[3]{\varkappa -1}}= \frac{3\varkappa \sqrt[3]{\varkappa -1}+3\sqrt[3]{\varkappa -1}}{\sqrt[9]{\varkappa -1}}=\frac{3\varkappa }{\sqrt[3]{\varkappa -1}}+\frac{3}{\sqrt[3]{\varkappa -1}} \)

è corretto o mi sono perso qualcosa?

Grazie a tutti
Luigi

[seb]

\( y=\frac{1}{\sqrt[3]{\varkappa -1}};y' = \frac{1}{v^2}v';y'=\frac{1}{\sqrt[9]{\varkappa -1}}\sqrt[3]{\varkappa -1} \)

Qua cos'è successo?

[jadawin]

Mi sa che ho fatto un pochino di confusione... .

Dovrebbe essere, seguendo sempre y' = uv' + u'v :

\( u = 3\varkappa ; u' = 3; \)

\( v = \frac{1}{\sqrt[3]{\varkappa -1}}; v' = \frac{1}{v^2}v';-\frac{1}{(\sqrt[3]{\varkappa -1})^2}3(\sqrt[3]{\varkappa -1});-\frac{3}{\sqrt[3]{\varkappa -1}} \)

e quindi:

\( y' = -\frac{9\varkappa}{\sqrt[3]{\varkappa -1}}+\frac{3}{\sqrt[3]{\varkappa -1}}; y' = -\frac{9\varkappa +3}{\sqrt[3]{\varkappa -1}} \)

corretto così?

grazie ancora a tutti!
Luigi

[seb]

\(v'=\frac{v'}{v^2}\)? Stai facendo ancora confusione. Quello che a occhio vuoi fare è chiamare \(w=\sqrt[3]{\varkappa-1}=(\varkappa-1)^{\frac{1}{3}}\) ottenendo \(v=\frac{1}{\sqrt[3]{\varkappa-1}}=\frac{1}{w}\) la cui derivata è \(v'=-\frac{w'}{w^2}\) e la derivata di \(w\) è \(w'=\frac{1}{3}(\varkappa-1)^{-\frac{2}{3}}=\frac{1}{3(\sqrt[3]{\varkappa-1})^2}\). Allora:\[-v'=\frac{w'}{w^2}=\frac{\frac{1}{3}(\varkappa-1)^{-\frac{2}{3}}}{(\varkappa-1)^{\frac{2}{3}}}=\frac{1}{3(\sqrt[3]{\varkappa-1})^4}\]Infine, essendo \(y=uv\), si ha:\[y'=u'v+uv'=\frac{3}{\sqrt[3]{\varkappa-1}}-\frac{\varkappa}{(\sqrt[3]{\varkappa-1})^4}=\frac{2\varkappa-3}{(\sqrt[3]{\varkappa-1})^4}\]Torna?

[jadawin]

Ah ecco dove avevo sbagliato io !!!!

Avevo considerato erroneamente il calcolo della potenza ridotto di una unità e avevo ottenuto \( -\frac{1}{3} \) anziché \( -\frac{2}{3} \) come doveva essere, cosicché il risultato finale cambia da quello che avevo ottenuto io...

Grazie ancora seb! E visto l'imminente natale, auguro buon natale a tutti!

Jada

[seb]

Ti faccio notare che in questi casi la risoluzione più semplice si ha mantenendo la frazione, cioè (riprendendo la scrittura che ho introdotto prima)\[y=\frac{u}{w}\implies y'=\frac{u'w-uw'}{w^2}=\frac{3(\varkappa-1)^{\frac{1}{3}}-\varkappa(\varkappa-1)^{-\frac{2}{3}}}{(\varkappa-1)^{\frac{2}{3}}}=\frac{2\varkappa-3}{(\varkappa-1)^{\frac{4}{3}}}\]buone feste

[jadawin]

Ri-ciao

Se consideriamo un grafico delle altitudini di un percorso, rappresentato come una S che va verso l'alto, si potrebbe dedurre la sua relativa derivata della pendenza che graficamente sarebbe espressa con un grafico simile a quello della pendenza dove si evidenziano le proprietà in un linguaggio comune:

la derivata di una costante è nulla --> quando la strada è orizzontale la sua pendenza è nulla
la derivata di una $ y $ crescente è positiva --> quando la strada monta, la sua pendenza è positiva
la derivata di una $ y $ decrescente è negativa --> quando la strada discende, la sua pendenza è negativa
quando una grandezza passa per un minimo/massimo, la derivata è nulla --> nel punto più alto/basso la pendenza è nulla
due funzioni che differiscono per una costante, hanno la stessa derivata --> due strade parallele hanno la stessa pendenza

però se io ho una funzione $ y $ rappresentata come di seguito:

$ y = 1/4x^3 - x $

la cui derivata $ y' $ è:

$ y' = 3/4x^2 - 1 $

graficamente mi darebbero una sorta di S per la $ y $ e una specie di U per la $ y' $. Quindi io mi chiedo come possano essere applicate interpretativamente tali regole che ho indicato prima per le pendenze a queste funzioni che danno 2 grafici completamente diversi?...

[seb]

Detta brevemente, l'andamento di \(y'\) fornisce l'andamento di \(y\), dal momento che il primo definisce puntualmente le pendenze del secondo. Se individui i punti in cui \(y'\) è positiva, in tali punti \(y\) è crescente; se \(y'\) è negativa, \(y\) è decrescente; in tutti i punti in cui \(y'\) si annulla, \(y\) non cresce né decresce (è costante). Facciamo lo studio del segno di \(y'\):\[y'=3\left(\frac{x}{2}\right)^2-1>0\iff\left(\frac{\sqrt{3}}{2}x+1\right)\left(\frac{\sqrt{3}}{2}x-1\right)>0\iff x<-\frac{2}{\sqrt{3}}\vee x>\frac{2}{\sqrt{3}}\]Ciò significa che \(y\) cresce da \(-\infty\) a \(-\frac{2}{\sqrt{3}}\), decresce da \(-\frac{2}{\sqrt{3}}\) a \(\frac{2}{\sqrt{3}}\) e ricomincia a cresce da \(\frac{2}{\sqrt{3}}\) a \(+\infty\). In particolare la derivata si annulla ovviamente in tutti i punti in cui cambia di segno e cioè in \(x=\pm\frac{2}{\sqrt{3}}\) e ivi \(y\) né cresce né decresce.

[jadawin]

Ciao seb, scusa il ritardo per ringraziarti...ho letto la risposta e mi sono messo a ristudiare e avevi proprio ragione.
E sono qui per chiederti un'altra piccola illuminazione: se da un lato pratico ipotizzando un'onda sonora sinusoidale la derivata prima dell'incremento del valore di sin(X) può essere intesa come amplificazione o attenuazione del suono, nel caso invece della tangente ad un suo punto A di questa onda sonora, la sua derivata prima cosa rappresenterebbe?...

[seb]

Non ho ben capito la domanda, ma ci provo ugualmente: il coefficiente angolare (la pendenza) della retta tangente al grafico di una funzione in un punto è pari al valore che la derivata di tale funzione assume nel medesimo punto.