Limite per x->oo

[davide.fede]

Salve, non riesco a svolgere questo limite: $\lim_{x \to \infty}(x^2-xsqrt(x^2-2x))/sqrt(x^2-2x)$ , continua ad uscirmi $oo$ invece dovrebbe uscire $1$. Ho provato a razionalizzare o a portare la $x$ fuori dalle radici ma nulla. Mi potete aiutare ?

[spugna]

Raccogli $x-sqrt (x^2-2x) $ al numeratore: puoi riscriverlo come $(x^2-(x^2-2x))/(x+sqrt (x^2-2x))=(2x)/(x+sqrt(x^2-2x))=2/(1+sqrt (1-2/x)) $, il cui limite è $1$. Rimane a questo punto da calcolare il limite di $x/sqrt (x^2-2x) $, che è di nuovo $1$.

[pilloeffe]

Ciao davide.fede,

Si ha:

$ lim_{x \to +\infty}(x^2-xsqrt(x^2-2x))/sqrt(x^2-2x) = lim_{x \to +\infty} frac{(x^2-xsqrt(x^2-2x))(x^2+ x sqrt(x^2-2x))}{sqrt(x^2-2x) \cdot (x^2+ x sqrt(x^2-2x))} = $
$ = lim_{x \to +\infty} frac{x^4 - x^2 (x^2-2x)}{sqrt(x^2-2x) \cdot (x^2+ x sqrt(x^2-2x))} = lim_{x \to +\infty} frac{2x^3}{sqrt(x^2-2x) \cdot (x^2+ x sqrt(x^2-2x))} = $
$ = lim_{x \to +\infty} frac{2x^3}{|x|sqrt(1-2/x) \cdot (x^2+ x|x| sqrt(1-2/x))} = lim_{x \to +\infty} frac{2x^3}{x^3[sqrt(1-2/x) \cdot (1 + sqrt(1-2/x))]} = 1$

Se invece $x \to -\infty $ allora non conviene neanche razionalizzare perché si ha:

$ lim_{x \to -\infty}(x^2-xsqrt(x^2-2x))/sqrt(x^2-2x) = lim_{x \to -\infty}(x^2-x|x|sqrt(1-2/x))/(|x|sqrt(1-2/x)) = lim_{x \to -\infty}(x^2 + x^2 sqrt(1-2/x))/(- xsqrt(1-2/x)) = $
$ = lim_{x \to -\infty}(x(1 + sqrt(1-2/x)))/(- sqrt(1-2/x)) = +\infty $

[davide.fede]

Grazie mille, avevo sbagliato a razionalizzare come di mio solito