Determinare il valore di alfa per cui converge l' integrale

[nikol95]

Salve mi aiutereste gentilmente a determinare tutti i valori di alpha per i quali converge il seguente integrale :

\(\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{cos(x)}{sin(x^{\alpha ^2+\alpha +1}+x^2)} \)

[Raptorista]

Potresti iniziare aiutandoti da solo scrivendo i problemi nella sezione corretta.

Moderatore: Raptorista

Sposto da Analisi numerica.

A questo punto, descrivi qualche tua idea di soluzione e vediamo perché non sai arrivare in fondo da solo.

[nikol95]

Ancora devo fare molta pratica, ma da quanto ho capito abbiamo due punti problematici, cioè entrambi gli estremi, giusto?

[pilloeffe]

Ciao nikol95,

Benvenuto sul forum!

abbiamo due punti problematici, cioè entrambi gli estremi, giusto?

No, non mi pare che in $1 $ si verifichino eventi particolarmente traumatici...
Osserverei anche che $\alpha^2 + \alpha + 1 > 0 quad \AA \alpha \in \RR $

[nikol95]

Grazie per avermi risposto, e quindi come dovrei procedere, considerando solo l'intorno di x->0?

[pilloeffe]

considerando solo l'intorno di x->0?

Direi considerando solo l'intorno del punto $x = 0 $ e, tenendo presente che $ lim_{x \to 0} cos(x) = cos(0) = 1 $ e che

$ lim_{f(x) \to 0} frac{sin f(x)}{f(x)} = 1 \implies sin f(x) $ \( \displaystyle \sim \) $ f(x) $

si ha...

[nikol95]

Io avevo risolto così, ma non sono sicuro sia giusto :

Quando x->0

\(\displaystyle \frac{cos(x)}{sin(x^{\alpha ^2+\alpha +1}+x^2)} \sim \frac{1}{x^{\alpha ^2+\alpha +1}} \)

quindi converge se e solo se \(\displaystyle x^{\alpha ^2+\alpha +1}+x^2<1 \)

[pilloeffe]

quindi converge se e solo se $x^{\alpha^2 +\alpha + 1} + x^2 < 1 $

Casomai direi se e solo se $ \alpha^2 +\alpha + 1 < 1 \implies - 1 < \alpha < 0 $

[nikol95]

Si scusa, intendevo questo, quindi è giusto in questo modo?

[pilloeffe]