anto_zoolander ha scritto:se solo avessi letto il link citato da @dissonance 3 anni fa......
dissonance ha scritto:Secondo me il problema è che quegli elementi di superficie NON sono tangenti alla sfera. Intuitivamente, l'elemento di superficie \(dS\) è "l'area di un quadratino infinitesimo tangente alla sfera". Siccome siamo a livello infinitesimo, il quadratino può essere sostituito con qualunque altra figura avente la stessa area al primo ordine, un cerchietto, un triangolino, etc... Ma deve essere tangente.
dissonance ha scritto:In ogni caso questo thread è un buon esempio di come, ragionando in modo urang-utang, talvolta si finisce per perdere più tempo che facendo le cose in modo rigoroso. Nel caso della sfera, invece di continuare così, meglio vedere la definizione. La sfera è una varietà Riemanniana di dimensione 2. Chiamiamo \(g\) il suo tensore metrico, ottenuto per restrizione del tensore metrico \(dx^2+dy^2+dz^2\) di \(\mathbb R^3\). Per definizione, l'elemento di superficie sulla sfera è
\[
dS=\sqrt{g}d y_1 dy_2, \]
dove \(y_1, y_2\) sono coordinate locali e \(\sqrt{g}\) è il determinante della matrice associata a \(g\) in queste coordinate locali.
Tu vuoi esprimere la superficie della sfera come un integrale in \(dz\). La \(z\) da sola non basta a parametrizzare la sfera, dobbiamo introdurre un'altra coordinata. A me piace parametrizzare \(\xi\in \mathbb S^2\) come
\[
\xi=z e_3 + \sqrt{1-z^2}\omega,\qquad z\in[-1,1],\ \omega\in\mathbb S^1.\]
Qui chiaramente \(\mathbb S^1\) denota la circonferenza unitaria nel piano \(\{z=0\}\), e \(e_3=(0,0,1)\). Abbiamo quindi parametrizzato la sfera in funzione di \(z, \omega\).
Adesso dobbiamo calcolare il tensore metrico e a me piace farlo osservando che
\[
dx^2+dy^2+dz^2=\lvert d\mathbf x\rvert^2, \qquad \mathbf x=(x, y, z).\]
Quindi, ciò che dobbiamo fare è calcolare \(\lvert d\xi\rvert^2\), ed avremo il nostro tensore metrico. Ma questo è facile perché c'è molta ortogonalità;
\[
\begin{split}
\lvert d\xi\rvert^2&= \left\lvert dz e_3 +\frac{-z}{\sqrt{1-z^2}}dz\,\omega + \sqrt{1-z^2}d\omega\right\rvert^2\\
&=\frac{dz^2}{1-z^2} + (1-z^2)d\omega^2.
\end{split}
\]
Qui abbiamo usato che \(\omega\cdot d\omega=\omega\cdot e_3=d\omega\cdot e_3=0\), come si può osservare differenziando la relazione \(\omega\cdot \omega=1\) e la relazione \(\omega\cdot e_3=0\), notando che \(de_3=0\). Inoltre, ovviamente, \(\lvert \omega\rvert^2=\lvert e_3\rvert^2=1\).
Ora che abbiamo il tensore metrico, possiamo calcolare l'elemento di superficie. La matrice \(g\) rispetto alle coordinate \((z, \omega)\) è data da
\[
\begin{bmatrix} (1-z^2)^{-1} & 0 \\ 0 & (1-z^2)\end{bmatrix}, \]
quindi il suo determinante è \(1\). Concludiamo che
\[
dS=dzd\omega, \]
e quindi che l'area della semisfera superiore è data da
\[
\int_0^1 \int_{\mathbb S^1} dzd\omega=2\pi,\]
che è il risultato corretto.
Questo metodo è più lungo, ma più affidabile, e funziona in tutte le dimensioni. Per inciso, sulla sfera \(\mathbb S^{d-1}\) il tensore metrico risulterebbe essere
\[
\lvert d\xi\rvert^2=\frac{dz^2}{1-z^2} + (1-z^2)\lvert d\omega\rvert^2, \qquad z\in[-1, 1], \omega\in \mathbb S^{d-2},\]
quindi la differenza rispetto a prima è solo che adesso \(\omega\in \mathbb S^{d-2}\). Quando si calcola il determinante, quindi, si ottiene \((1-z^2)^{d-2}\), e l'elemento di superficie è
\[
dS_{\mathbb S^{d-1}}= (1-z^2)^\frac{d-2}{2}dzdS_{\mathbb S^{d-2}}.\]
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