integrale ad una dimensione per area sfera

[Mathita]

In ogni caso, alla fin fine questo metodo di affettare l'insieme per cilindretti mi ricorda troppo il metodo di integrazione per strati, o ancora il principio di Cavalieri.

[dissonance]

Ma guarda un po', che fesso che sono, avevo sbagliato il teorema di Pitagora. Aggiustando il calcolo come suggerisci si ottiene il risultato corretto; la misura della semisfera è uguale a
\[
\int_0^1 \pi(1-z^2)\, dz= \pi -\pi/3.\]

mi ricorda troppo il metodo di integrazione per strati, o ancora il principio di Cavalieri.

Si, è esattamente lo stesso, ecco perché i conti tornano. Supponiamo di voler calcolare il volume del solido di rotazione
\[
C=\{(x, y, z)\ :\ \sqrt{x^2+y^2}\le f(z)\}, \]
dove il profilo \(f\) è una funzione sufficientemente regolare e definita su \([a, b]\). Passando a coordinate cilindriche vediamo che tale volume è dato da
\[
\iiint_C\, dxdydz=\iiint r\mathbf 1_{\{r\le f(z)\}}\, drd\theta dz, \]
e usando Fubini, l'ultimo integrale è pari a
\[
\int_0^{2\pi}d\theta \int_a^b dz \int_0^{f(z)} r\,dr, \]
ovvero \(\pi\int_a^b (f(z))^2\, dz\), la formula del principio di Cavalieri, nonché quella predetta dall'approssimare \(C\) con cilindretti di raggio \(f(z)\) e altezza \(dz\).

[Mathita]

Ciao dissonance, sono traumatizzato da questo post perché ho provato a usare la stessa strategia per calcolare la misura della superficie della sfera mancando completamente il bersaglio. Se considero la superficie laterale del cilindro di altezza infinitesima e provo a calcolare l'integrale, il risultato è completamente sballato. Non sono riuscito a giustificare questa discrepanza, tu hai qualche idea?

Scrivo l'integrale che ho ottenuto

$2\int_0^1 2\pi\sqrt{1-z^2}dz$

Dovrei ottenere la misura della superficie della sfera di raggio 1, ma wolfram alpha mi dà torto.

Suppongo che io stia trascurando qualche risultato importante di teoria della misura... O forse approssimare una superficie regolare come quella della sfera con qualcosa che non è nemmeno continuo fa sballare tutto. Non so, non mi è mai capitato di pensarci approfonditamente e questa anomalia mi lascia molto perplesso.

[dissonance]

Secondo me il problema è che quegli elementi di superficie NON sono tangenti alla sfera. Intuitivamente, l'elemento di superficie \(dS\) è "l'area di un quadratino infinitesimo tangente alla sfera". Siccome siamo a livello infinitesimo, il quadratino può essere sostituito con qualunque altra figura avente la stessa area al primo ordine, un cerchietto, un triangolino, etc... Ma deve essere tangente.

In ogni caso questo thread è un buon esempio di come, ragionando in modo urang-utang, talvolta si finisce per perdere più tempo che facendo le cose in modo rigoroso. Nel caso della sfera, invece di continuare così, meglio vedere la definizione. La sfera è una varietà Riemanniana di dimensione 2. Chiamiamo \(g\) il suo tensore metrico, ottenuto per restrizione del tensore metrico \(dx^2+dy^2+dz^2\) di \(\mathbb R^3\). Per definizione, l'elemento di superficie sulla sfera è
\[
dS=\sqrt{g}d y_1 dy_2, \]
dove \(y_1, y_2\) sono coordinate locali e \(\sqrt{g}\) è il determinante della matrice associata a \(g\) in queste coordinate locali.

Tu vuoi esprimere la superficie della sfera come un integrale in \(dz\). La \(z\) da sola non basta a parametrizzare la sfera, dobbiamo introdurre un'altra coordinata. A me piace parametrizzare \(\xi\in \mathbb S^2\) come
\[
\xi=z e_3 + \sqrt{1-z^2}\omega,\qquad z\in[-1,1],\ \omega\in\mathbb S^1.\]
Qui chiaramente \(\mathbb S^1\) denota la circonferenza unitaria nel piano \(\{z=0\}\), e \(e_3=(0,0,1)\). Abbiamo quindi parametrizzato la sfera in funzione di \(z, \omega\). Adesso dobbiamo calcolare il tensore metrico e a me piace farlo osservando che
\[
dx^2+dy^2+dz^2=\lvert d\mathbf x\rvert^2, \qquad \mathbf x=(x, y, z).\]
Quindi, ciò che dobbiamo fare è calcolare \(\lvert d\xi\rvert^2\), ed avremo il nostro tensore metrico. Ma questo è facile perché c'è molta ortogonalità;
\[
\begin{split}
\lvert d\xi\rvert^2&= \left\lvert dz e_3 +\frac{-z}{\sqrt{1-z^2}}dz\,\omega + \sqrt{1-z^2}d\omega\right\rvert^2\\
&=\frac{dz^2}{1-z^2} + (1-z^2)d\omega^2.
\end{split}
\]
Qui abbiamo usato che \(\omega\cdot d\omega=\omega\cdot e_3=d\omega\cdot e_3=0\), come si può osservare differenziando la relazione \(\omega\cdot \omega=1\) e la relazione \(\omega\cdot e_3=0\), notando che \(de_3=0\). Inoltre, ovviamente, \(\lvert \omega\rvert^2=\lvert e_3\rvert^2=1\).

Ora che abbiamo il tensore metrico, possiamo calcolare l'elemento di superficie. La matrice \(g\) rispetto alle coordinate \((z, \omega)\) è data da
\[
\begin{bmatrix} (1-z^2)^{-1} & 0 \\ 0 & (1-z^2)\end{bmatrix}, \]
quindi il suo determinante è \(1\). Concludiamo che
\[
dS=dzd\omega, \]
e quindi che l'area della semisfera superiore è data da
\[
\int_0^1 \int_{\mathbb S^1} dzd\omega=2\pi,\]
che è il risultato corretto.

Questo metodo è più lungo, ma più affidabile, e funziona in tutte le dimensioni. Per inciso, sulla sfera \(\mathbb S^{d-1}\) il tensore metrico risulterebbe essere
\[
\lvert d\xi\rvert^2=\frac{dz^2}{1-z^2} + (1-z^2)\lvert d\omega\rvert^2, \qquad z\in[-1, 1], \omega\in \mathbb S^{d-2},\]
quindi la differenza rispetto a prima è solo che adesso \(\omega\in \mathbb S^{d-2}\). Quando si calcola il determinante, quindi, si ottiene \((1-z^2)^{d-2}\), e l'elemento di superficie è
\[
dS_{\mathbb S^{d-1}}= (1-z^2)^\frac{d-2}{2}dzdS_{\mathbb S^{d-2}}.\]

[anto_zoolander]

...

è sempre un piacere leggerti.

[dissonance]

Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.

Grazie Anto, che piacere. Se sei in Sicilia goditela un po' pure per me.

[gugo82]

Supponiamo di voler calcolare il volume del solido di rotazione
\[
C=\{(x, y, z)\ :\ \sqrt{x^2+y^2}\le f(z)\}, \]
dove il profilo \(f\) è una funzione sufficientemente regolare e definita su \([a, b]\). [...]

Il che, a sua volta, mi riporta qui.

[Mathita]

Ciao a tutti. Volevo ringraziare dissonance per il suo post. Non ho ancora tutti gli strumenti per comprenderlo a pieno, però almeno so cosa devo cercare e cosa devo approfondire. Grazie mille. Nei prossimi giorni riprendo il libro di Geometria differenziale e ristudio tutto.

[dissonance]

@Mathita: Secondo me non occorre. Pensare di "ristudiare tutto", per incertezza, è un tipico comportamento mio, e penso che sia un ottimo modo per finire intrappolati nella tana del coniglio. A volte è meglio fare da sé, piuttosto che cercare aiuto sui libri, e secondo me questo è uno di quei casi.

[Mathita]

Tranquillo dissonance Approfondisco quando ho un po' di tempo. Se vedo che la questione diventa spinosa, tendo a pensarci nei momenti morti della giornata, ma non diventa una fissazione. Poi... Ho visitato spesso la tana del bianconiglio ed è un posto che mi piace. L'importante è saperne uscire e pazientare fino a quando non si hanno gli elementi per esaminarla meglio.