Io mi sono anche scusato più volte di portare all'attenzione questione per voi così banali, ma non credevo banali tanto da non dover neanche essere considerate.
E poi detto francamente, perché dovrebbero essere banali? La stima asintotica è uno strumento che più volte il professore (Analisi1) ha usato, oltre al fatto che costituisce le fondamenta per gl'ordini di infinito/infinitesimo quindi non capisco proprio dove sia la banalità, che ci sia altro che mi sfugga?
dissonance ha scritto:..A volte, si dice che \(f(x)\sim g(x)\) se il limite del rapporto esiste finito ed è uguale a un numero diverso da \(0\), conformemente al fatto che si tratta di una definizione poco importante e che quindi ciascuno se la modella come preferisce. In ogni caso, che il limite sia \(1\) o un altro numero non nullo non cambia nulla dal punto di vista qualitativo.
Come non cambia? Prendiamo ad esempio il caso di $1-cos(x)$. Per ciò che hai scritto esso dovrebbe equivalere a $x^2$, ma questo è falso perché sappiamo essere equivalente a $\frac{1}{2}x^2$.
Quindi in linea di massima cambia eccome perché se il rapporto è diverso da $1$, la funzione $f(x)$ non sarà "equivalente" a $g(x)$ ma piuttosto sarà equivalente a $k * g(x)$, e questo cambia il risultato eccome!
Perché non scrivere la definizione come:
\[f(x)\sim k \cdot g(x), \quad x\to x_0 \ \iff\ \lim_{x\to x_0} \frac{f(x)}{g(x)}=k \neq 0\]