Successione definita x ricorrenza

[galles90]

Buonasera,

sto svolgendo un esercizio sulle successioni definite per ricorrenza, nel testo non è presente il primo termine della successione. In questi casi come bisogna procedere ?

Comunque la successione è definita da :

$ ** a_{n+1}= 2a_n +1$

Una volta supposto che esiste il limite è vale $L$, come faccio a procedere per calcolarmi il limite della successione $**$, qual ora esistesse, se non conosco il primo termine della successione ?

Ciao

[Settevoltesette]

Procedere per fare cosa?

[galles90]

Ciao, l'ho corretto.
Per calcolare il limite della successione, qual'ora esistesse.

[Settevoltesette]

Puoi riscriverla per un generico \(\displaystyle a_{n+k} \) in funzione di \(\displaystyle a_n \).

A quel punto ti viene una funzione in un unico parametro, studi il comportamento del limite al variare di quel parametro. Dovrebbe venire +oo, - 1, - oo a seconda di a_n

[anto_zoolander]

considera la funzione $y=2x+1$ e ti chiedi quali siano le successioni ${a_n}$ tali che $P_n=(a_n,a_(n+1))$ soddisfi l'equazione per ogni $n in NN$

ovvero che $a_(n+1)=2a_n+1$

vale il seguente teorema. Sia $f:X->RR$ una funzione continua e ${a_n}subseteqX$ una successione tale che $a_(n+1)=f(a_n)$ allora, se $a_n$ converge, converge ad un punto fisso della funzione.

di fatto supponiamo che $a_n -> a$ allora per continuità $f(a_n) -> f(a)$ ma d'altra parte $f(a_n)=a_(n+1) ->a$
per unicità del limite deve essere $f(a)=a$

la funzione $y=2x+1$ è una funzione continua quindi il limite di una successione che soddisfa quella relazione deve essere $a=2a+1 => a=-1$

infatti puoi anche calcolare la successione esplicitamente notando che:

$a_0=k$
$a_1=2a_0+1$
$a_2=2a_1+1=2(2a_0+1)+1=4a_0+3$
$a_3=2a_2+1=2(4a_0+3)+1=8a_0+7$

viene da pensare che sia $a_n=2^na_0+2^n-1$
mostriamolo per induzione.

per $n=0,1$ è banalmente vero. Supponiamo sia vero per $n$ e mostriamo che lo sarà anche per $n+1$

$a_(n+1)=2a_n+1=2(2^na_0+2^n-1)+1=2^(n+1)a_0+2^(n+1)-1$

fine. Si ha $a_n=2^n(a_0+1)-1$

Nota che questo rispetta quello che abbiamo detto in quanto abbiamo detto che 'se converge, converge a $-1$' ma nulla ci conferma che la successione converga, a meno che non troviamo una soluzione esplicita.

Infatti notiamo che ${a_n}$ converge se e solo se $a_n=-1, forall n inNN$