da pilloeffe » 02/05/2018, 23:02
Ciao ely92,
La funzione proposta è la seguente:
$y = (x^2 + 1)^{ln x} $
che è del tipo $y = [f(x)]^{g(x)} $. Se $f(x) > 0 $ e $f(x) $ e $ g(x) $ sono derivabili, come nel caso della funzione proposta, esiste una regola per il calcolo della derivata:
$ y' = [f(x)]^{g(x)} [g'(x) ln[f(x)] + frac{g(x)f'(x)}{f(x)}] $
Nel caso in esame si ha
$ y' = (x^2 + 1)^{ln x} [frac{ln(x^2 + 1)}{x} + frac{2x ln x}{x^2 + 1}] $
che mi pare corrisponda alla soluzione riportata sul tuo libro. Dato che la regola sopra riportata non è semplice da ricordare, tipicamente si procede per via diretta, "ricostruendo" la regola di volta in volta. A tal fine, o si procede come ti ha già scritto Summerwind78, oppure anche nel modo seguente:
$y = (x^2 + 1)^{ln x} \implies ln y = ln (x^2 + 1)^{ln x} \implies ln y = ln x \cdot ln(x^2 + 1) $
Derivando si ha:
$ 1/y cdot y' = 1/x \cdot ln(x^2 + 1) + frac{2x}{x^2 + 1} \cdot ln x $
$frac{y'}{y} = frac{ln(x^2 + 1)}{x} + frac{2x ln x}{x^2 + 1} \implies y' = y [frac{ln(x^2 + 1)}{x} + frac{2x ln x}{x^2 + 1}] \implies $
$ \implies y' = (x^2 + 1)^{ln x} [frac{ln(x^2 + 1)}{x} + frac{2x ln x}{x^2 + 1}] $
ritrovando naturalmente lo stesso risultato già scritto sopra.