Problema integrale doppio su sfera.

[markwalter]

Salve a tutti ho questo, probabilmente molto semplice, integrale doppio da risolvere:
L'integrale in questione è : \(\displaystyle \int\int (y+z)d\gamma \)
Il dominio di integrazione è la semisfera di raggio 2 centrata nell'origine con \(\displaystyle z>=0 \) quindi \(\displaystyle x^2 + y^2 + z^2 < 4 \).

Per risolverlo vado in coordinate sferiche e quindi \(\displaystyle
\begin{equation}
\begin{cases}
x = rsin(\phi)cos(\theta)
\\y = rsin(\phi)sin(\theta)
\\z = rcos(\phi)
\end{cases}
\end{equation} \) e lo jacobiano \(\displaystyle |J| = r^2 sin(\phi) \)

Imposto quindi l'integrale che risulta \(\displaystyle \int_0^{\pi/2}\int_0^{2\pi}((rsin(\phi)sin(\theta) + rcos(\phi)) r^2sin(\phi) )d\phi d\theta = 8\pi \quad r = 2 \).
E fino a qui credo che sia corretto, il risultato almeno combacia.

Il mio problema sorge nel risolvere questo integrale in coordinate cilindriche.
Poingo quindi \(\displaystyle \begin{equation}
\begin{cases}
x = rcos(\theta)
\\y = rsin(\theta)
\\z = z
\end{cases}
\end{equation} \), dall'equazione della sfera ricavo \(\displaystyle r = \sqrt{4-z^2} \quad 0\leq z\leq 2 \quad 0\leq \theta \leq 2\pi \qquad |J| = r = \sqrt{4 - z^2} \).

Imposto quindi l'integrale che risulta : \(\displaystyle \int_0^{2\pi}\int_0^2 \sqrt{4-z^2}(\sqrt{4-z^2}sin(\theta) + z) dzd\theta = 16/3\pi\).
Ci ho sbattuto la testa per 3 ore, ma credo di star sbagliando qualcosa di concettuale, grazie in anticipo per qualunque risposta, buona giornata, Marco.

[markwalter]

Gentilissimo, tutto molto chiaro, buona giornata,
Marco