il primo teorema è anche detto 'di sostituzione'
Il motivo del fatto che la funzione 'argomento' debba essere non uguale al limite in almeno un intorno del punto risiede nella dimostrazione stessa del teorema che ti riporto con dovute osservazioni
sia $f:A->RR$ e $g:B->RR$ tale che $g(x) in A,forallx in B$ ovvero $im(g)subseteqA$ e sia $x_0$ di acc. per $B$
- $lim_(x->x_0)g(x)=l$
- $exists r>0: g(x)nel,forallx in B(x_0,r)capB$
- $l$ di accumulazione per $A$ e $lim_(x->l)f(x)=l'$
allora $lim_(x->x_0)f(g(x))=lim_(x->l)f(x)$ ovvero $lim_(x->x_0)f(g(x))=l'$
partiamo dal fatto che $g->l$ allora per definizione di limite si avrà che
1- $forallepsilon_1>0existsdelta_1>0: forallx in B( 0<|x-x_0|<delta_1 => |g(x)-l|<epsilon_1)$
dal fatto che $l$ sia di accumulazione per $A$ e che $f->l'$ si avrà che
2 - $forallepsilon_2>0existsdelta_2>0: forallx in A( 0<|x-l|<delta_2 => |f(x)-l'|<epsilon_2)$
ora il problema risiede in $0<|x-l|<delta_2$ ma perchè?
fissato $epsilon_1=delta_2$ otteniamo che $forallx in B(0<|x-x_0|<delta_2 => |g(x)-l|<delta_2)$
ovvero che per tutti i valori del dominio che distano da $x_0$ meno di $delta_2$ e sono distinti da $x_0$, i valori $g(x)$ hanno tutti distanza da $l$ minore di $delta_2$.
a noi serve l'implicazione $0<|x-x_0|<delta_1 => 0<|g(x)-l|<delta_2 => |f(g(x))-l'|<epsilon_2$
questo poichè dalla definizione di limite la tesi la raggiungiamo se i valori $g(x)$ stanno in un intorno bucato del limite, che ci garantisce l'ultima implicazione, infatti se per qualche valore di $x in B$ si avesse che $0<|x-x_0|<delta_1 => g(x)=l$ sicuramente non si avrebbe che $0<|g(x)-l|<delta_2$ e pertanto non potremmo concludere che $|f(g(x))-l'|<epsilon_2$
quindi l'esistenza di un intorno in cui la funzione $g$ si mantenga distante dal suo limite ci assicura che $g(x)$ sta in un intorno bucato del punto dove facciamo il limite di $f$
infatti, chiaramente
$forallx in B( 0<|x-x_0|<delta_1 wedge x in B(x_0,r) => 0<|g(x)-l|<delta_2) => |f(g(x))-l'|<epsilon_2$
da cui si ha la tesi.
L'esempio che ti ha fornito gugo è perfetto per questo teorema e mostrare quanto sia necessaria quella ipotesi.
in quanto la funzione $g(x)=0,forallx in RR$ ha limite $0$ ed e coincide con il suo limite in ogni intorno di $x_0=0$
la funzione $f(x)={(0 if x=0),(1 if x ne 0):}$ invece vale costantemente uno quando si mantiene distante da $0$
la funzione $forallx in RR, f(g(x))=f(0)=0$ e $f(g(x))-> 0$
questo proprio perchè non esiste un intorno in cui la funzione $g(x)$ si mantenga distante da $0$.passiamo al secondo esempio
è chiaro che se una funzione $f$ è derivabile in un punto $x_0$ allora si avrà che
$lim_(h->0)f(x_0+h)=lim_(h->0)[h*(f(x_0+h)-f(x_0))/h+f(x_0)]=f(x_0)$
ovvero $lim_(h->0)f(x_0+h)=f(x_0)$
dobbiamo mostrare che $lim_(x->x_0)f(x)=f(x_0)$
poniamo $g(h)=x_0+h$ per cui $lim_(h->0)g(h)=x_0$ e $x_0$ è di accumulazione per il dominio di $f$
sappiamo che $lim_(h->0)f(g(h))=f(x_0)$
abbiamo le prime due ipotesi del teorema verificate e la tesi. Ci manca soltanto la terza ipotesi ovvero che $f(x)->f(x_0)$
come concludiamo? con una riformulazione del teorema.
- $lim_(x->x_0)g(x)=l$ e $l$ di accumulazione per $dom(f)$
- $g$ si mantiene distante da $l$ in almeno un intorno di $x_0$
-$ lim_(x->x_0)f(g(x))=l'$
allora $lim_(x->l)f(x)=lim_(x->x_0)f(g(x))$
il motivo è sostanzialmente questo. Sia $l''$ il limite di $f$ in $l$ ovvero
$lim_(x->l)f(x)=l'$ allora per il teorema precedente, visto che sono verificate tutte e tre le ipotesi e per l'unicità del limite si avrà $l'=lim_(x->x_0)f(g(x))=lim_(x->l)f(x)=l''$
quindi dovrà essere $lim_(h->0)f(g(h))=lim_(x->x_0)f(x)$
dovrebbe esserci tutto