Ciao ragazzi. Sono rimasto bloccato con lo studio della convergenza di questa serie
$$\sum_{n=1}^{+\infty}\left(\frac{1}{n}-\arctan\frac{1}{n}\right)(e^{\frac{1}{n}}-1)n^2$$
Ho provato con il criterio del confronto ma non trovo nulla di buono.
Dato che $\arctan(x)\geq\frac{\pi}{4}x$ per ogni x in [0,1] ottengo:
$$\begin{array}{l}
\left(\frac{1}{n}-\arctan\frac{1}{n}\right)(e^{\frac{1}{n}}-1)n^2\leq \left(\frac{1}{n}-\frac{\pi}{4}\frac{1}{n}\right)(e^{\frac{1}{n}}-1)n^2=\\
=\frac{1}{n}\left(1-\frac{\pi}{4}\right)(e^{\frac{1}{n}}-1)n^2=\\
=\left(1-\frac{\pi}{4}\right)(e^{\frac{1}{n}}-1)n\end{array}$$
Ma questa ultima serie diverge! Qualche alternativa?