Studio qualitativo equazione differenziale del primo ordine

[nick_10]

Ciao a tutti! Ho il seguente problema in cui devo studiare il comportamento delle soluzioni di un equazione differenziale
"Consideriamo il problema di Cauchy $u'=(arctan(u-t))/u$, $u(0)=alpha$
a)Studiare l'esistenza globale nel passato con $alpha>0$
b)Determinare se esiste $alpha>0$ per cui la soluzione non è globale nel futuro
c)Determinare se esiste $alpha>0$ per cui la soluzione è globale nel futuro
d)Determinare se esiste $alpha!=0$ per cui la soluzione è globale nel futuro o nel passato
Volevo esporre il mio ragionamento

Intanto alcune osservazioni semplici: la retta $u=t$ è soluzione e per $u=0$ la soluzione non è definita. Poi la "situazione segni della derivata": è positiva nel 2 e 4 quadrante, positiva nel primo quadrante sopra la retta $u=t$ e nel terzo quadrante sotto la retta $u=t$, negativa altrove
Poi per il primo punto voglio dire che "muoiono" tutte(ovvero che si schiantano sulla retta $u=0$). Se per assurdo $u(t)$ avesse esistenza globale, allora per monotonia dovrebbe tendere a un limite $l in (0,alpha)$. Ma questo crea un assurdo nel teorema dell'asintoto($u'(t)$ dovrebbe tendere a zero ma ciò non accadrebbe con le ipotesi di sopra).
Per il punto b) invece dico che un $alpha >0$ esiste. Basta infatti considerare la soluzione $w(t)$ che passa per il punto (1,1) (o qualsiasi altro punto della bisettrice) e poi considerare $alpha=w(0)$. La mia $u(t)$ dunque toccherà la retta e da quel momento in poi, per monotonia e discorsi analoghi a prima, si schianterà
Fin qui ci sono secondo voi? O sto sottovalutando troppo il problema?

[gugo82]

Non entro nel discorso, ma una cosa voglio dirla (sia a te sia a Lebesgue, che evidentemente studiate per lo stesso esame o dallo stesso testo, perché proponete gli stessi esercizi)...

Ma quando mai $u(t)=t$ è soluzione della EDO!?!
Fate attenzione!

[Lebesgue]

@nik_10 anche tu usi il gobbinario?

Comunque io per i punti a e b ho ragionato esattamente come te.
Per il punto c) invece ho detto che necessariamente tutte le soluzioni toccano la bisettrice e si schiantano, infatti se una soluzione non toccasse la bisettrice, allora $v(t)=t+\varepsilon$ sarebbe sottosoluzione per un opportuno $\varepsilon>0$, e (almeno a me) viene un assurdo, quindi tutte le soluzioni nel futuro e nel passato con $\alpha>0$ muoiono.
Per il punto D basta osservare che se $u(t)$ è soluzione, allora anche $v(t)=-u(-t)$ è soluzione e quindi non si ha mai esistenza globale. (ovviamente supponendo di avere ragionato bene).

@gugo82: lo sappiamo che u(t)=t NON è soluzione dell'equazione, è un modo che utilizziamo (errando, è vero) per dire che sono quelle curve che fanno annullare la derivata.

[nick_10]

Sisi anche io xD
Comunque i p.ti c e d li avevo fatti anche io ma volevo esporre più avanti per non scrivere un enorme messaggio!
Il p.to c) ho provato con una soprasoluzione del tipo $v(t)=t+k$, comunque grazie!