Serie numerica "difficile"

[zariski]

Ciao a tutti,

Stabilire il carattere di $\sum_{n=1}^{+ \infty} \frac{1}{n^{1+|\sin(n)|}}$

Ho trovato questo esercizio di analisi 1 sul sito di un mio docente tra quelli classificati "difficili", per curiosita' ho tentato di risolverlo invano e devo dire che proprio non mi va giu' il non riuscire a determinare il comportamento di questa serie apparentemente innocua.
A prima vista ho puntato sulla convergenza ma poi tenando di maggiorarla mi sono resto conto che le cose non sono cosi' semplici. Ho tentanto ogni criterio di convergenza per serie che conosco e tutti hanno fallito. Ho anche cercato di dimostrare o negare la condizione di Cauchy ma mi sono reso conto che per farlo devo sempre passare da qualche maggiorazione/minorazione che pero' non e' abbastanza fine da darmi le informazioni che occorrono.
Visto che e' un esercizio per matricole al primo semestre non credo necessiti di nessuno strumento sofisticato (avevo pensato di passare in qualche modo ad un integrale di Lebesgue e ragionare sugli insieme di misura nulla, comunque alla fine non ho nemmeno tentato).
So che ${\sin(1/n)}_{n=1)^{+\infty}$ e' denso in $(0,1)$ ma ovviamente non riesco a trovare una permutazione di tale successione che sia monotona. Posso considerare pero' delle sottosuccessioni che sono limitate, ma anche tale strada non mi ha portato da nessuna parte.

Qualcuno ha idea di come fare? Anche solo dei suggerimenti e/o idee sono bene accetti.

Grazie mille

[pilloeffe]

Ciao zariski,

Forse la sto facendo troppo semplice, ma la serie proposta converge per confronto con la serie armonica generalizzata se

$ 1 + |sin(n)| > 1 \iff |sin(n)| > 0 $

il che accade sempre perché gli unici valori "critici" che annullerebbero la funzione seno non sono certo interi ma reali...

[otta96]

Forse la sto facendo troppo semplice

Eh si….
Questo perché per applicare il criterio come dici te bisognerebbe che $|sen(n)|$ sia uniformemente positivo, cioè $\text{limsup}_{n->+\infty}|sen(n)|>0$, noi sappiamo solo che è $>=0$ (in effetti si può vedere che è proprio $0$), se questo argomento non ti convince molto pensa alla serie $\sum_{n=0}^(+\infty)1/(n^(1+1/n))$, che è divergente, ma col ragionamento che hai applicato prima si avrebbe $1/n>0$, quindi la serie è convergente.
Ad ogni modo, ci stavo pensando anche io a quella serie, ma non mi sembra fattibile con gli strumenti che uno ha a disposizione ad analisi 1 (a meno di essere un genio e tirare fuori qualcosa di assurdo), a me era venuto in mente lo sviluppo in frazione continua di $pi$, perché sostanzialmente bisogna capire per gli $n$ che approssimano bene un multiplo di $pi$ se sono "abbastanza pochi" da far convergere la serie, e di concetti collegati a approssimare numeri irrazionali il meglio possibile con frazioni "piccole" mi è venuto in mente le frazioni continue, ma non sapendo io molto su questo argomento non sono riuscito a cavarci niente.
Comunque secondo me la serie converge, ho provato a confrontarla con $1/(nln^2n)$, ma come già detto non ho concluso nulla.

[Delirium]

[Cazzata]

Comunque bel problema, meriterebbe di stare in "Pensare un po' di più".

[otta96]

Scusa ma quel liminf non è banalmente $0$?

[Delirium]

Ah sì, ho scritto una cazzata.

[Delirium]

Comunque è roba da specialisti

[pilloeffe]

Decisamente l'ho fatta troppo semplice...
Comunque concordo con otta96, non mi pare un esercizio da Analisi I...

[zariski]

Vedo che questo esercizio ha riscontrato molto successo, non me l'aspettavo.

Comunque bel problema, meriterebbe di stare in "Pensare un po' di più".

Ero tentato di metterlo li' ma mi era venuta paura che in realta' fosse molto piu' semplice di come mi sembrava.
C'e' modo di spostare? Magari se passa qualche moderatore/admin puo' farlo, o dirmi se devo ricreare il topic.

Comunque è roba da specialisti

Ora non ho le forze di leggerlo e credo che comunque non ci capirei molto, pero' vi giuro che e' un esercizio di analisi 1, in particolare e' uno dei piu' tosti tra quelli difficili.
Il professore e' famoso per i questi esercizi quanto belli quanto difficili e vi assicuro che hanno sempre delle soluzioni molto piu' semplici di quello che uno e' portato a pensare all'inizio, insomma credo che esista una soluzione abbordabilissima (come strumenti, non come facilita' di concezione) per delle matricole.

Se a nessuno viene in mente in qualcosa "da analisi 1" mando una mail al professore, perche' a questo punto sono davvero curioso.

[Delirium]

[...] Il professore e' famoso per i questi esercizi quanto belli quanto difficili e vi assicuro che hanno sempre delle soluzioni molto piu' semplici di quello che uno e' portato a pensare all'inizio, insomma credo che esista una soluzione abbordabilissima (come strumenti, non come facilita' di concezione) per delle matricole.

Se a nessuno viene in mente in qualcosa "da analisi 1" mando una mail al professore, perche' a questo punto sono davvero curioso.

In realtà la dimostrazione di mse è elementare, ma estremamente tecnica. Sembra scritta da qualcuno con esperienza in quei settori lì (teoria analitica dei numeri e dintorni). Del resto, le prime tre righe del post in alto sono "illuminanti":

This is problem 11162, posed by Paolo Perfetti¹, in the June-July 2005 issue of the American Mathematical Monthly. The solution below, due to the Microsoft Research Problems Group, is found in the February 2007 issue of the same magazine.

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Note

1. Che immagino sia il tuo professore ↑