prima di arrivare al dunque un piccolo
lemma
sia $V$ un $RR$ spazio normato e $E$ un sottoinsieme convesso di $V$, siano $v_1,...,v_n in E$ e $lambda_1,...,lambda_n in RR$ con i $lambda_igeq0$ tali che $sum_(k=1)^(n)lambda_k=1$ allora $sum_(k=1)^(n)lambda_kv_k in E$
dimostrazione
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per $n=2$ è banale poichè $[v_1,v_2] subseteqE$ per convessità di $E$ ponendo $lambda_2=1-lambda_1$
supponiamo che valga per $n$ e mostriamo l'esser vero per $n+1$
- se $lambda_(n+1)=1$ abbiamo finito in quanto tutti gli altri sono nulli
- se $lambda_(n+1)=0$ idem per ipotesi induttiva
- se $lambda_(n+1)<1$ allora $sum_(k=1)^(n+1)lambda_k=1 => sum_(k=1)^(n)(lambda_k)/(1-lambda_(n+1))=1$
pertanto si avrà $sum_(k=1)^(n)(lambda_k)/(1-lambda_(n+1))v_k in E$
ma allora $sum_(k=1)^(n+1)lambda_kv_k=(1-lambda_(n+1))sum_(k=1)^(n)(lambda_k)/(1-lambda_(n+1))v_k+lambda_(n+1)v_(n+1)$ dove basta porre uguale ad un certo vettore di $E$ quella somma per avere dalla definizione di convessità che vi appartiene per qualsiasi $lambda_(n+1) in (0,1)$
supponiamo che valga per $n$ e mostriamo l'esser vero per $n+1$
- se $lambda_(n+1)=1$ abbiamo finito in quanto tutti gli altri sono nulli
- se $lambda_(n+1)=0$ idem per ipotesi induttiva
- se $lambda_(n+1)<1$ allora $sum_(k=1)^(n+1)lambda_k=1 => sum_(k=1)^(n)(lambda_k)/(1-lambda_(n+1))=1$
pertanto si avrà $sum_(k=1)^(n)(lambda_k)/(1-lambda_(n+1))v_k in E$
ma allora $sum_(k=1)^(n+1)lambda_kv_k=(1-lambda_(n+1))sum_(k=1)^(n)(lambda_k)/(1-lambda_(n+1))v_k+lambda_(n+1)v_(n+1)$ dove basta porre uguale ad un certo vettore di $E$ quella somma per avere dalla definizione di convessità che vi appartiene per qualsiasi $lambda_(n+1) in (0,1)$
proposizione
sia $V$ un $RR$ spazio normato, $EsubseteqV$ sottoinsieme convesso e $f:E->RR$ una funzione convessa.
Presi $v_1,...,v_n in V$ e $lambda_1,...,lambda_n in E$ tale che $lambda_igeq0,foralli=1,...,n$
se $sum_(k=1)^(n)lambda_k=1$ allora $f(sum_(k=1)^(n)lambda_kv_k)leqsum_(k=1)^(n)lambda_kf(v_k)$
dimostrazione
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
sostanzialmente la dimostrazione è pari pari quella precedente in quanto partendo da
$sum_(k=1)^(n+1)lambda_kv_k=(1-lambda_(n+1))sum_(k=1)^(n)(lambda_k)/(1-lambda_(n+1))v_k+lambda_(n+1)v_(n+1)$ dove pongo $w=$la somma
si avrà $f((1-lambda_(n+1))w+lambda_(n+1)v_(n+1))leq(1-lambda_(n+1))f(w)+lambda_(n+1)f(v_(n+1))$
il resto segue dall'ipotesi induttiva su $w$
$sum_(k=1)^(n+1)lambda_kv_k=(1-lambda_(n+1))sum_(k=1)^(n)(lambda_k)/(1-lambda_(n+1))v_k+lambda_(n+1)v_(n+1)$ dove pongo $w=$la somma
si avrà $f((1-lambda_(n+1))w+lambda_(n+1)v_(n+1))leq(1-lambda_(n+1))f(w)+lambda_(n+1)f(v_(n+1))$
il resto segue dall'ipotesi induttiva su $w$
come vi pare?
