Chiarimento dimostrazione min e inf

[Cleo97]

Buonasera, vorrei dei chiarimenti su alcuni punti di questa dimostrazione:
Si stabilisce in modo chiaro che la funzione non ha un minimo;
dopo aver posto b = infP , perchè dice che $ 1<=P $ ?

Secondo passaggio dove dice "Se fosse $ 1 <b $ si avrebbe $ b<b^2 $ "
fa una semplice moltiplicazione per $ b $ ?

Alla fine dunque si dimostra che poichè $ u/v > 1 $ ( ed $ (u/v)^n in P $ ) non può essere più piccolo dell'estremo inferiore $ b $,
è corretta come interpretazione?
Grazie mille per l'aiuto.

[anto_zoolander]

Ciao Cleo!
Per caso il testo di cui fa parte la dimostrazione è il De Marco?

Comunque

Secondo passaggio dove dice "Se fosse $1<b$ si avrebbe $b<b^2$ "
fa una semplice moltiplicazione per $b$?

esattamente, utilizza il fatto che $1<b => b<b^2$
A seguire la notazione $1leqP$ indica semplicemente che $1leqb, forall b in P$
dunque posto $b:= i n fP$ potendo essere $1leqb$ in particolare sarà $1=b$ oppure $1<b$

dunque se supponiamo per assurdo che sia $1<b$ allora chiaramente $b<b^2$ pertanto non essendo $b^2$ un minorante di $P$ possiamo trovare un certo $u in QQ$ per cui $b<u^n<b^2$ e la disuguaglianza stretta $b<u^n$ è data dal fatto che non essendo $b$ il minimo nessun elemento di $P$ può coincidere con esso(se di fatto per assurdo così non fosse $P$ ammetterebbe come minimo $b$ cosa che non può accadere in quanto mostrato nella risoluzione).

Ora essendo $b<u^n$ e non essendo dunque $u^n$ un minorante di $P$ esisterà un certo $v in QQ$ per cui $b<v^n<u^n<b^2$ la cui disuguaglianza $b<v^n$ vale per lo stesso motivo di prima.

ora $b<v^n <=> 1/(v^n)<1/b$ e considerando $u^n<b^2$ possiamo moltiplicare membro a membro senza cambiare il verso della disuguaglianza essendo tutte quantità positive, pertanto

$1/(v^n)<1/b wedge u^n<b^2 => (u/v)^n <b^2/b=b$

ovviamente essendo $u,v in P$ allora $u^n>1$ e $v^n>1$ pertanto $(u/v)^n>1$ e $u/v$ è razionale poichè rapporto di due razionali pertanto $u/v$ starà in $P$.

in poche parole assumendo che l'estremo inferiore sia strettamente maggiore di uno si arriva a costruire un numero contenuto nell'insieme che risulta essere più piccolo.

questo contraddice l'ipotesi che $b$ fosse l'estremo inferiore e pertanto deve essere $b=1$, concludendo la dimostrazione.

[Cleo97]

Ciao Cleo!
Per caso il testo di cui fa parte la dimostrazione è il De Marco?

Si utilizzo il De Marco, spiega tutto nel minimo dettaglio e da' un senso di completezza che non ho trovato in altri libri. Il rovescio della medaglia è che per me, che sono alle prime armi, a volte disorienta un po', ho provato ad affiancarlo a qualche altro testo consigliato qui nel forum ma ebbi impressione che gli altri testi usino un approccio differente, molti argomenti non sono nemmeno trattati.

Un grazie infinito per le delucidazioni e la dimostrazione molto utile e chiarificatrice.

[Cleo97]

Riprendo questo topic, in quanto la precedente dimostrazione viene adesso utilizzata in un'altra dimostrazione, vorrei capire il breve passaggio che fa il libro.

Esistenza radici n-esime.
riassumo brevemente situazione, abbiamo $ A_x<=B_x $ con $ A_x>0 $ , per assioma completezza avremo: $ A_x<= xi <= B_x. xi >0 $. Provare che $ xi^n = x $.
Se fosse $ xi^n < x $ allora $ xi in A_x$ con $ xi = maxA_x $,

il problema si verifica adesso: sia $ u>1 $ razionale tale che sia $ u^n < x/xi^n $, $ u $ esiste per esercizio precedente.

La dimostrazione che segue non esembra difficile ma non capisco come arriva a alla disuguaglianza $ u^n < x/xi^n $, che rimanda anche al precedente esercizio, ho provato in extremis a prendere $ xi = max A_x $ ed interpretarlo come $ xi = $inf$B_x$ e costruire un'uguaglianza simile a quella del precedente esercizio ma credo sia una via sbagliata.

Grazie ancora per i chiarimenti.

[anto_zoolander]

Moderatore: anto_zoolander

Quando rispondi, a meno che non ti serva un pezzo di quanto scritto da qualcun altro, non c'è bisogno di citare tutto.

Per mettere il pedice basta usare il simbolo underscore, ossia questo: _

elaboro la risposta....

[Indrjo Dedej]

Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.

Eccolo qui il nuovo moderatore...

Quasi due anni fa ho proposto una dimostrazione sull'esistenza delle radici $n$-esime, ma non ha avuto commenti di nessun tipo. La riesumo, magari ti può essere utile una dimostrazione alternativa.
Comunque quello che stai proponendo tu è interessante... Ci penso.

[anto_zoolander]

@indrjo

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non so come prendere questo messaggio

La sua dimostrazione è quella presente su: Analisi 1 di Giuseppe De Marco a pagina 76-77

[Cleo97]

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Eccolo qui il nuovo moderatore...

Quasi due anni fa ho proposto una dimostrazione sull'esistenza delle radici $n$-esime....

Darò un'occhiata anche se sembra differente come impostazione.

Per mettere il pedice basta usare il simbolo underscore, ossia questo: _

elaboro la risposta....

Grazie per le indicazioni, ho provveduto a correggere il tutto e grazie per la pazienza

[anto_zoolander]

Allora,

l'obiettivo è quello di mostrare che non può essere né $xi^n<x$ nè $xi^n>x$ e quindi che debba essere per forza $xi^n=x$, infatti la dimostrazione comincia proprio supponendo per assurdo prima una cosa e poi l'altra.

sia $A_x leq xi leq B_x$ e supponiamo che $xi^n<x$

per definizione di $A_x$ sarà $xi>0$ e $xi^n<x$ questo implica che $xi in A_x$
dal fatto che $A_x leq xi$ e che $xi in A_x$ segue che $xi = maxA_x$ e fin quì ci siamo

pertanto supponendo che $xi^n<x$ si arriva subito al fatto che deve coincidere con $maxA_x$

essendo $0<xi^n<x => 1<x/xi^n$

ora dove sta l'utilizzo dell'esercizio precedente? Abbiamo visto che una volta fissato $n in NN$ avremo che l'insieme $P_n:={u^n : u in QQ , u>1}$ come estremo inferiore il valore $1$

da questo¹

$forallepsilon>0 exists z in P_n : 1<z<1+epsilon$

essendo $0<x/xi^n-1$ puoi porre esattamente $epsilon:=x/xi^n-1$ ottenendo l'esistenza di un certo $z in P_n$ per cui

$1<z<x/xi^n$

essendo $z in P_n$ sarà del tipo $u^n$ con $u in QQ$ e $u>1$

pertanto si perviene a quanto detto dal buon De Marco, ovvero che

$u^n<x/xi^n$

da cui

$(xi*u)^n<x => xi*u in A_x$

ma essendo che $u>1$ sarà $xi*u>xi$ ovvero $xi=maxA_x<xi*u in A_x$ il che è assurdo poichè nessun elemento di $A_x$ può essere strettamente maggiore del massimo stesso dell'insieme.

Quindi, riassumendo:
se $xi^n<x$ allora $xi=maxA_x$ ma allo stesso tempo esisterebbe un certo razionale $u in QQ, u>1$ tale che $xi*u in A_x$ e che sarebbe strettamente maggiore del massimo, che ci porta all'assurdo

analogamente si fa un analogo discorso supponendo che $xi^n>x$ e ottenendo un assurdo, concludendo che l'unica possibilità è che sia $xi^n=x$

Spero che adesso ti sia più chiaro: ho usato anche una proprietà dell'estremo inferiore per rendere tutto più 'esplicito'.

Se non sbaglio, in seguito, per dimostrare l'esistenza della funzione radice $n-$esima utilizza questo fatto, finendo per dimostrare soltanto l'unicità: ossia che le classi $A_x,B_x$ sono contigue.

EDIT:
Se non sbaglio per mostrare l'altro assurdo ti basta considerare che l'insieme

$P_n={u^n: u in QQ, 0<u<1}$ ha estremo superiore $1$

---

Note

1. ricorda che nonostante si abbia a che fare con numeri razionali, in questo insieme, è sempre visto come sottoinsieme di $RR$ ed in quanto tale infatti la quantità $epsilon$ denota un numero reale ↑

[Cleo97]

Ti ringrazio infinitamente