Purtroppo, essendo Settembre, la mia professoressa prima dell'esame, che sarà a breve, ha tenuto un solo ricevimento, e ad agosto l'ateneo era chiuso. Ho dunque domandato a un mio amico quello che gli ha detto, essendo stato quel giorno impossibilitato ad andare, ma non sono molto convinto...
Innanzitutto, gli avrebbe detto che per verificare se è possibile scrivere il polinomio di Taylor di n-esimo grado per Xo è necessario che la funzione non sia solo derivabile n volte (come credevo io) in Xo, ma anche che la stessa derivata n-esima sia continua. In tutta la teoria non ho mai trovato che in un intorno di Xo la funzione dovesse essere di classe di continuità n, e quindi credevo non fosse necessario verificare la continuità in Xo della derivata n-esima, ma solo se la (n-1)-esima derivata fosse a sua volta derivabile.
Inoltre, prescindendo dalla continuità della derivata n-esima, il mio collega ha capito che dobbiamo verificare per ogni derivata di grado inferiore ad n anche la continuità in Xo. Perché? Anche se fosse, se dimostriamo che la funzione è derivabile in un punto, non è là automaticamente anche continua in tale punto? Di certo esiste una proposizione che asserisce questo, e che non credo di mal interpretarla.
Infine, e questa è la domanda forse più importante, riguardo la classe di continuità, per gli esercizi dove chiede o dove è necessario calcolarlo, posso certamente dire che essa è C^oo, nel dominio, per polinomi ed esponenziali del tipo e^x, se non erro, oltre che per le funzioni periodiche (seno, coseno, tangente, arcotangente, arcocoseno e arcoseno) o sbaglio? Mi è stato riferito da molti che a parer loro lo sarebbe anche con le funzioni irrazionali, con indice pari o dispari, non ricordo. Ma mi sembra assurdo solo vedendo la radice quadrata di x nel piano cartesiano...ma potrei sbagliarmi. Ho qualche dubbio, invece, sulle funzioni di polinomi di stesso grado o di grado diverso sia al numeratore che al denominatore. E le logaritmiche?
Tutto questo mi serve, in particolare, per sapere se posso scrivere direttamente il polinomio di Taylor in un punto senza dover verificare la derivabilità n volte.
Grazie in anticipo per le risposte.