Derivata della velocità rispetto allo spazio

[luca.milano]

Buongiorno ragazzi, avrei bisogno, date le seguenti formule, di trovare la derivata della velocità rispetto allo spazio:

$ { ( (ds)/(dt) = u ),( (du)/(dt) =a ):} $ con $a$ non costante, ma funzione della $u$

Quindi $ (du)/(ds) $ come si calcola?

[gugo82]

Beh, giocando coi differenziali trovi formalmente:
\[
\frac{\text{d} u}{\text{d} s} =
\frac{\text{d} u}{\text{d} t} \cdot \frac{\text{d} t}{\text{d} s} = \frac{a}{u}\; .
\]
Visto che ha usato il teorema di derivazione della funzione inversa e la derivata della funzione composta, devi verificare che siano soddisfatte le ipotesi; inoltre, è chiaro che le funzioni al terzo membro vanno espresse in funzione di $s$ via l'inversa $t=t^{-1}(s)$.

[Bossmer]

se non specifichi le dipendenze funzionali è impossibile rispondere.
Per esempio hai specificato fin ora che $a=a(u)$ e immagino che $t$ sia una variabile indipendente, ora però devi specificare da chi dipende $u$ ed $s$ ...
Ad esempio se hai che $u=u(t)$ ed $s=s(t)$ allora devi sperare che la funzione $s(t)$ sia invertibile, e che quindi esista la funzione $t(s)$ a questo punto grazie al teorema di derivazione inversa hai che $$\frac{dt(s)}{ds}=\frac{1}{\frac{ds(t)}{dt}}$$ e quindi nel tuo caso particolare $\frac{dt(s)}{ds}=\frac{1}{u}$ a questo punto la derivata rispetto allo spazio è solo la derivata della funzione composta cioè:
$$
\frac{du(t(s))}{ds}=\frac{du(t)}{dt}\frac{dt(s))}{ds}=\frac{a}{u}
$$

Però se hai dipendenze funzionali diverse, le cose potrebbero cambiare...