Volume e area di solidi in R^3

[RenoFranco]

Buonasera, avrei da risolvere questi esercizi ma non riesco:

Il volume della regione sovrastante $z = 0$ e interna al cilindro $x^2+y^2 = 4y$ e alla sfera $x^2+y^2+z^2 = 16$ è:
Soluzione = $64*(3pi-2)/9$

L'area della porzione del cono $x^2+y^2 = 3z^2$ sottostante al piano $z=0$ e interna al cilindro $x^2+y^2=4y$ è:
Soluzione $8*pi/(3)^(1/2)$

[dissonance]

Buonasera a te. Devi proporre qualche tua idea per avere risposta. Grazie.

[RenoFranco]

Sono proprio bloccato, non riesco a trovare un procedimento o un modo per impostare l'esercizio. La cosa che mi blocca è il fatto che il cilindro che delimita la regione non ha asse di simmetria nell'origine a differenza della sfera nel primo caso e il cono nel secondo.

[pilloeffe]

Ciao RenoFranco,

Hai provato a fare un disegno?
Comunque in effetti almeno il primo integrale proposto non è proprio banalissimo, ci sono da fare un po' di conti. Prima di tutto per ragioni di simmetria si può notare che è sufficiente moltiplicare per $2 $ il volume contenuto nel primo ottante $x >= 0, y >= 0, z >= 0 $. Facendo un disegno di massima si può considerare come dominio d’integrazione la semicirconferenza individuata dal cilindro sul piano $(x, y) $ ossia

$ D := {(x, y) \in \RR^2 : x^2 + (y - 2)^2 <= 4, x >= 0} $

mentre come funzione possiamo considerare la semisfera di equazione

$z = f(x, y) = \sqrt{16 - x^2 - y^2} $

Per cui il volume da calcolare è il seguente:

\( \displaystyle V = 2 \iint_D \sqrt{16 - x^2 - y^2} dx dy \)

Conviene passare in coordinate polari centrate nell'origine, in modo tale che invece di integrare la funzione $f(x, y) $ su $D$ si integra la funzione $f(\rho, \theta) = \sqrt{16 - \rho^2} $ sull'insieme

$ \Phi^{-1}(D) := {(\rho, \theta) \in RR^2 : 0 <= \theta <= \pi/2, 0 \le \rho \le 4 sin\theta} $

Per cui si ha:

\( \displaystyle V = 2 \iint_D \sqrt{16 - x^2 - y^2} dx dy = 2 \iint_{\Phi^{-1}(D)} \rho \sqrt{16 - \rho^2} d\rho d\theta = \)
$ = \int_0^{\pi/2} [\int_0^{4 sin\theta} \sqrt{16 - \rho^2} d(\rho)^2] d\theta = - \int_0^{\pi/2} [\int_0^{4 sin\theta} \sqrt{16 - \rho^2} d(16 - \rho^2)] d\theta = $
$ = - \int_0^{\pi/2} [2/3 (16 - \rho^2)^{3/2}]_0^{4 sin\theta} d\theta = - 2/3 \int_0^{\pi/2} [(16 - 16\sin^2\theta)^{3/2} - 64] d\theta = $
$ = \frac{128}{3}\int_0^{\pi/2} (1 - cos^3\theta) d\theta = \frac{64\pi}{3} - \frac{128}{3} \int_0^{\pi/2} cos^3\theta d\theta = $
$ = \frac{64\pi}{3} - \frac{128}{3} \int_0^{\pi/2} (1 - sin^2\theta)d(sin\theta) = \frac{64\pi}{3} - \frac{128}{3} [\sin\theta - \frac{\sin^3\theta}{3}]_0^{\pi/2} = $
$ = \frac{64\pi}{3} - \frac{128}{3} [1 - \frac{1}{3}] = \frac{64\pi}{3} - \frac{128}{3} [\frac{2}{3}] = $
$ = \frac{64\pi}{3} - \frac{256}{9} = 64 \cdot \frac{3\pi - 4}{9}$

Controlla i conti perché non mi torna il risultato che hai scritto, per cui potrei aver commesso qualche errore...