olanda2000 ha scritto:gugo82 ha scritto:No.
Il secondo, che si chiama Teorema Fondamentale dell'Algebra, è più generale.
Quindi il fatto che nel campo complesso esistano N radici N-esime è una conseguenza del Teorema Fondamentale dell'Algebra?
Cioè scrivere l'equazione $ x^5 -1 = 0 $
equivale a scrivere
$ x = (1)^(1/5) $ ? grazie
Come detto, il simbolo $z^{1/5}$ non ha significato univoco in $CC$, perciò va adoperato con cautela.
Cerca di non usarlo.
Per tornare alla questione, il fatto che ogni numero complesso $zeta !=0$ abbia esattamente $n$ radici $n$-esime puoi vederlo come conseguenza del TFdA: infatti, segue dal fatto che il polinomio $z^n - zeta$ ha tutte le sue radici in $CC$.
Tuttavia, questa proprietà (esistenza di $n$ radici) si dimostra anche senza ricorrere al TFdA, con il solito trucco che si trova su ogni testo di Analisi I. Tale trucco ha il pregio di fornire una formula per il calcolo delle radici che non può essere ricavata applicando il TFdA.
