Derivabilità implica differenziabilità (passaggio)

[Mephlip]

Perché

$lim_(x->x_0) ((f(x)-f(x_0))/(x-x_0))=f'(x)$

Non è corretto: quella è $f'(x_0)$, non $f'(x)$.
Essendo perciò $f'(x_0)$ indipendente da $x$, puoi portarlo dentro al limite.

[Mephlip]

Per quanto detto prima hai
$$\lim_{x\to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}-f'(x_0)=\lim_{x\to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}-\lim_{x\to x_0} f'(x_0)$$
Non avete fatto un teorema che dice: il limite della somma è uguale alla somma dei limiti?
Se l'avete fatto viene da quello, infatti applicandolo (con le opportune ipotesi soddisfatte) puoi dire
$$\lim_{x\to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}-\lim_{x\to x_0} f'(x_0)=\lim_{x\to x_0} \left(\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}-f'(x_0)\right)$$
Chiaro ora?