Dimostrare che una funzione è maggiore di un'altra

[bulletcluster]

Salve, sono nuovo in questo forum, spero che questo mio primo post riesca a pubblicarlo correttamente..(sezioni giuste, eccetera..).
Ultimamente sto riscontrando particolari difficoltà a provare con esatta precisione se una funzione è maggiore di un'altra; esiste un metodo unico per farlo, oppure mi devo adattare da caso a caso?
Eccovi un esempio che vi chiedo cortesemente di svolgere data la mia inesperienza in questa tipologia di esercizi;
$Si$ $provi$ $che$ $:$ $tan(x)>= 2x+1-$ $pi/2$ $per$ $ogni$ $x$ $in$ $[0,pi/2)$

[anto_zoolander]

Ciao e benvenuto!

Diciamo che non esiste una formula magica, però spesso si fa la seguente considerazione:
Si prendono due funzioni $f,g:A->RR$, si considera $h(x)=f(x)-g(x)$ e si studia il necessario la funzione $h$

Un esempio può essere il fatto che $h’(x)>0$ per tutti gli $x$ e che esista un $c in A$ per cui $h(c)=0$. Da cui poi si deduce che $h(x)>0$ per tutti gli $x in A$ tali che $x>c$.

Perché non provi ad adattarlo a questo caso, per cominciare?

[bulletcluster]

Ciao e benvenuto!

Diciamo che non esiste una formula magica, però spesso si fa la seguente considerazione:
Si prendono due funzioni $f,g:A->RR$, si considera $h(x)=f(x)-g(x)$ e si studia il necessario la funzione $h$

Un esempio può essere il fatto che $h’(x)>0$ per tutti gli $x$ e che esista un $c in A$ per cui $h(c)=0$. Da cui poi si deduce che $h(x)>0$ per tutti gli $x in A$ tali che $x>c$.

Perché non provi ad adattarlo a questo caso, per cominciare?

Ciao e grazie per la tempestiva risposta, il metodo che mi hai proposto mi è abbastanza chiaro ed inoltre mi ha anche permesso di risolvere l'esercizio.
Ma purtroppo ho sempre bisogno di capire il perché di quello che faccio, quindi gentilmente confermami se ho capito bene: si considera la funzione differenza in modo tale da riconoscere quando i grafici "si avvicinano o si allontanano" al crescere di x, e in questo caso dato che la derivata della funzione differenza è positiva per $x>$ $pi/4$ allora la differenza cresce in corrispondenza di quei valori e di conseguenza i due grafici di $f(x)$ e $g(x)$ si allontanano, quindi per $x in$$[0,pi/4)$ si avvicinano dato che la differenza diminuisce, infine per $x=pi/4$ sono tangenti dato che $h(pi/4)=0$

[anto_zoolander]

questa parola

purtroppo

e questa frase

ho sempre bisogno di capire

non metterle accanto, è una cosa ottima voler capire.

si considera la funzione differenza in modo tale da riconoscere quando i grafici "si avvicinano o si allontanano"

è corretto: la funzione $h(x)=f(x)-g(x)$ ti da la 'distanza con segno' tra le funzioni, quindi ti permette di dire quando una sta sopra l'altra.

Quello che hai detto è corretto: in particolare $x_0=pi/4$ è un punto di minimo per la distanza in $(0,pi/2)$ quindi significa che per ogni $x in [0,pi/2)$ si ha $h(x)geqh(pi/4) => h(x)geq0 => f(x)geqg(x)$

chiaramente tu hai trovato qualcosa di più forte di quello che ho detto precedentemente: in quanto prima ho detto che se $h$ è crescente per $x>c$ e $h(c)=0$ significa $h(x)>h(c)=0 => h(x)>0$ per $x>c$

tu hai trovato che $pi/4$ è un punto di minimo assoluto in $[0,pi/2)$ quindi la distanza sarà maggiore di $h(pi/4)$ per tutti gli $x$ dell'intervallo, ed è corretto.

[bulletcluster]

Ti ringrazio nuovamente per le numerose delucidazioni, buona serata

[gugo82]

Altra tecnica: usare la convessità.

La funzione $tan x$ è strettamente convessa in $[0,pi/2[$ e ciò implica che il suo grafico è sempre strettamente al disopra di qualsiasi retta ad esso tangente, eccezione fatta per l'unico punto di tangenza: dato che la derivata di $tan x$ è $1/(cos^2 x)$, ciò equivale a dire che per ogni fissato $x_0 in [0,pi/2[$ si ha:
\[
\tan x \geq \frac{1}{\cos^2 x_0}\ (x - x_0) + \tan x_0
\]
per ogni $x in [0,pi/2[$ con uguaglianza se e solo se $x=x_0$.

Scegliamo $x_0$ in modo che la tangente al grafico sia parallela a quella che si ottiene disegnando il grafico del secondo membro della tua disuguaglianza: per determinare un tale $x_0$ basta risolvere in $[0,pi/2[$ l'equazione $1/(cos^2 x_0) = 2$, che fornisce $x_0 = pi/4$, e sostituire nella disuguaglianza di convessità per ottenere:
\[
\tan x \geq 2\left( x -\frac{\pi}{4}\right) + 1
\]
per ogni $x in [0,pi/2[$, che è proprio quello che volevi.


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[Fioravante Patrone]

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[axpgn]