esercizio serie

[lepre561]

$\sum_{n=1}^infty ((n+1)/(2n+1))^(n^2*sin(1/n))$

premetto che è da poco che mi cimento nelle serie però provo a postare una soluzione e vediamo se va bene

siccome so che$sin(1/n)<1$
avremo che


$\sum_{n=1}^infty ((n+1)/(2n+1))^(n^2*sin(1/n))$<$\sum_{n=1}^infty ((n+1)/(2n+1))^(n^2)$

applicando il crtiterio della radice al secondo termine

$lim_(ntoinfty)((n+1)/(2n+1))^(n)=0$

siccome $l<1$ la serie converge e di sonseguenza converge anche la serie iniziale


va bene oppure è totalmente sbagliato?

[pilloeffe]

Ciao lepre561,

Mah, mi pare più comodo applicare direttamente il criterio della radice:

$\lim_{n \to +\infty} root[n]{a_n} = \lim_{n \to +\infty}((n+1)/(2n+1))^{\frac{sin(1/n)}{1/n}} = 1/2 < 1 $

Pertanto la serie proposta è convergente.

[lepre561]

ma il mio procedimento è sbagliato?

[otta96]

$\sum_{n=1}^infty ((n+1)/(2n+1))^(n^2*sin(1/n))$<$\sum_{n=1}^infty ((n+1)/(2n+1))^(n^2)$

Si questo passaggio è sbagliato.

[lepre561]

perchè?

[otta96]

Riflettici.

[lepre561]

ma se $sin(1/n)<=1$ automaticamente mi viene da fare quella disuguaglianza perchè non varia niente

[otta96]

Ma la base è minore di $1$, quindi le disuguaglianze cambiano verso.

[lepre561]

$\sum_{n=1}^infty ((n+1)/(2n+1))^(n^2*sin(1/n))$>$\sum_{n=1}^infty ((n+1)/(2n+1))^(n^2)$

quindi verrebbe cosi?

però poi non potrei applicare il criterio della radice

[otta96]

Esatto.