Distanza tra un punto e un paraboloide iperbolico

[Frostman]

Buon pomeriggio, avrei un dubbio con questo esercizio:

Trovare la distanza dal punto $(3, 0, 0)$ al paraboloide iperbolico di equazione $ z = x^2 - y^2 $.

Ho pensato di utilizzare i Moltiplicatori di Lagrange, procedendo nel seguente modo

$sqrt(d(x,y,z)) = sqrt((x-3)^2+y^2+z^2)$

La funzione $g$ (condizione dettata dal paraboloide iperbolico) sarà $g=g(x,y,z)=z-x^2+y^2=0$
Per cui la nostra Lagrangiana sarà

$ L(x, y, z, \lambda) = d(x,y,z) + \lambdag(x,y,z) $
$ L(x, y, z, \lambda) = (x-3)^2+y^2+z^2+\lambda(z-x^2+y^2)$

(Ho scelto di usare $d(x,y,z)$ anziché $sqrt(d(x,y,z))$ poiché quest'ultimo si incrementa con $d(x,y,z)$ per cui posso semplificare i calcoli se trovo il minimo di $d(x,y,z)=(x-3)^2+y^2+z^2$, dovrebbe essere corretto come ragionamento, fatemi sapere in ogni caso se sia corretto o no)

A questo punto ne calcolo le derivate parziali rispetto a $x, y, z$ e $\lambda$

$(partial L)/(partial x)=2x-6-2\lambdax=0$

$(partial L)/(partial y)=2y+2\lambday=0$

$(partial L)/(partial z)=2z+\lambda=0$

$(partial L)/(partial \lambda)=z+y^2-x^2=0$

Ottenendo tre soluzioni:

$ { ( x=sqrt(2)/2 ),( y=0 ),( z=1/2 ),( \lambda=-1 ):} $

$ { ( x=-sqrt(2)/2 ),( y=0 ),( z=1/2 ),( \lambda=-1 ):} $

$ { ( x=1 ),( y=0 ),( z=1 ),( \lambda=-2 ):} $

A questo punto, trovati i punti sulla superficie prendo i seguenti risultati e li inserisco nella formula della distanza

$sqrt(d(x,y,z)) = sqrt((x-3)^2+y^2+z^2)$

E in teoria dovrei prendere la distanza tra due punti minima, che si ottiene utilizzando come valori del punto sulla superficie quelli del terzo sistema. ($sqrt(5)$)

Il mio dubbio riguarda proprio quest'ultimo passaggio, ovvero la scelta delle coordinate. È corretto scegliere quelle che mi danno la distanza minima?
Oltre ai Moltiplicatori di Lagrange potevo usare un altro metodo, magari più efficace?

[anonymous_0b37e9]

... potevo usare un altro metodo ...

Direzione della normale al paraboloide iperbolico

$2xveci-2yvecj-veck$

Direzione della congiungente

$(x-3)i+yvecj+(x^2-y^2)veck$

Condizione di parallelismo

$2x=\lambda(x-3)$

$-2y=\lambday$

$-1=\lambda(x^2-y^2)$

[Frostman]

Non abbiamo affrontato ad Analisi 2, per ora, queste condizioni. Avevo trovato questo su StackExchange (https://math.stackexchange.com/questions/175624/finding-shortest-distance-between-a-point-and-a-surface) che sembrava essere molto simile al mio problema visto che avevamo da poco trattato i Moltiplicatori di Lagrange. Seguendo il tuo ragionamento, e sostituendo i dati mi viene una distanza pari a $ 1/2 $ e confrontando con i miei risultati nessuno di essi mi dà lo stesso risultato. Ho sbagliato qualcosa nel mio metodo? Ho usato senza senso i Moltiplicatori?

PS: Chiedo scusa per il link, ma volevo mostrare il mio riferimento.

[anonymous_0b37e9]

Ho imposto che il segmento la cui lunghezza è la distanza minima deve essere perpendicolare alla superficie, come nel caso di una sfera per intenderci. Ad ogni modo:

$x=1 ^^ y=0 ^^ z=1$

è soluzione anche del mio, a patto che:

$\lambda=-1$

Ti ricordo che il valore di $\lambda$ non deve essere necessariamente lo stesso.

[anto_zoolander]

Ciao!

Puoi anche sostituire a $(x,y,z)$, nella distanza, il generico punto del paraboloide $(x,y,x^2-y^2)$ e minimizzarla