Serie con parametro

[Salvy]

Salve a tutti,non riesco a svolgere questa serie
$ sum^(N = oo \) (n^(2q)-n)^(1/4) -sqrt(n^q) $
Devo trovare il parametro a affinché la serie converge , non so proprio da dove iniziare

[pilloeffe]

Ciao Salvy,

Potresti iniziare a scriverla nella forma seguente:

$ \sum_{n = 1}^{+\infty} (n^(2q)-n)^(1/4) -sqrt(n^q) = \sum_{n = 1}^{+\infty} (n^(2q)-n)^{1/4} - (n^{2q})^{1/4} $

A questo punto moltiplicherei numeratore e denominatore per $ (n^(2q)-n)^{1/4} + (n^{2q})^{1/4} $ e poi ancora...

[Salvy]

non so continuare

[gugo82]

Più che moltiplicare come suggerisce pilloeffe (cosa che non funziona con le radici quarte, tra l'altro), suggerirei di mettere in evidenza i termini di grado massimo e di usare le solite tecniche di calcolo per stabilire l'ordine di infinitesimo degli addendi.

P.S.: Tra le altre cose, se $q$ è "piccolo", gli addendi non hanno significato. Perché?
Quali $q$ bisogna quindi considerare affinché tutto funzioni?

[Salvy]

non ho capito cosa intendi

[gugo82]

non ho capito cosa intendi

Si vede che non leggi con attenzione e/o che non rifletti abbastanza su quel che leggi.

Cosa non capisci nella frase "suggerirei di mettere in evidenza i termini di grado massimo e di usare le solite tecniche di calcolo per stabilire l'ordine di infinitesimo degli addendi"?

[Salvy]

Ho provato a mettere in evidenza i termini di grado massimo , ma mi si semplifica tutto

[gugo82]

Salvy, per favore, non ragionare come se noi riuscissimo a leggere sui tuoi fogli... Quando fai dei calcoli e non ti tornano i conti, posta i passaggi.

[pilloeffe]

@gugo82:

Più che moltiplicare come suggerisce pilloeffe (cosa che non funziona con le radici quarte, tra l'altro) [...]

Perché dici che non funziona? Potrei sbagliarmi, ma mi risulta che si ha:

$ \sum_{n = 1}^{+\infty} (n^(2q)-n)^(1/4) -sqrt(n^q) = \sum_{n = 1}^{+\infty} (n^(2q)-n)^{1/4} - (n^{2q})^{1/4} = \sum_{n = 1}^{+\infty} \frac{[(n^{2q}-n)^{1/4} - (n^{2q})^{1/4}][(n^{2q}-n)^{1/4} + (n^{2q})^{1/4}]}{(n^{2q}-n)^{1/4} + (n^{2q})^{1/4}} = $
$ = \sum_{n = 1}^{+\infty} \frac{\sqrt{n^{2q}-n} - \sqrt{n^{2q}}}{(n^{2q}-n)^{1/4} + (n^{2q})^{1/4}} = - \sum_{n = 1}^{+\infty} \frac{n}{[(n^{2q}-n)^{1/4} + (n^{2q})^{1/4}][\sqrt{n^{2q}-n} + \sqrt{n^{2q}}]} = $
$ = - \sum_{n = 1}^{+\infty} \frac{1}{n^{-1}[(n^{2q}-n)^{1/4} + (n^{2q})^{1/4}][\sqrt{n^{2q}-n} + \sqrt{n^{2q}}]} $

e quest'ultima serie è più semplice da studiare, considerando che ovviamente deve essere $n^{2q} - n >= 0 \implies q \ge 1/2 $
ma si vede subito che per $q = 1/2 $ la serie proposta non può convergere.

[gugo82]

@pilloeffe: Perché devi fare tutto in più passaggi.
Canonicamente, una differenza di radici quarte \(\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b}\) si razionalizza moltiplicando e dividendo per \( \sqrt[4]{a^3} + \sqrt[4]{a^2 b} + \sqrt[4]{ab^2} + \sqrt[4]{b^3}\).