Successione con (-1)^n

[gugo82]

Ha ragione Salvy.

Il problema qui è che volete svolgere l'esercizio "al buio" come delle persone che giocano a moscacieca, i.e. che state complicandovi le cose perchè vi ostinate a non fare un disegno (o a dare una qualsiasi altra rappresentazione grafica, tabulare, etc...) della successione.

Se vi levaste la benda con cui avete coperto gli occhi, vi accorgereste che è semplice fornire un grafico della successione.
Facendo il grafico si vede che la successione $(a_n)$ è dotata di minimo, assunto in $n=3$, e non è dotata di massimo pur avendo \(\sup a_n = 1\).
Dunque, basta dimostrare che $a_3 <= a_n < 1$ per ogni $n$ e portare a casa il risultato.

Poi, a voler essere formali, non ci vuole niente a dimostrare che:
\[
\begin{split}
\sup a_n &= \max \Big\{ \sup a_{2h}, \sup a_{2h+1}\Big\} \\
\inf a_n &= \min \Big\{ \inf a_{2h}, \inf a_{2h+1}\Big\}
\end{split}
\]
e che gli estremi della successione sono massimi o minimi se tali sono per l'estratta da cui essi provengono.

[Salvy]

Ma dire che per gli n dispari la successione è irregolare è completamente sbagliato?

[gugo82]

Sì.
Irregolare è un termine definito e non ha il significato che gli vuoi attribuire.