calcolo di limite

[cri98]

salve a tutti;
devo risolvere questo limite:
$ lim_(x -> 0)(cosroot(3)((x)) -root(3)((cosx)) )/x^(2/3 $

mi date qualche consiglio/trucco per risolverlo?

Grazie!

[Mephlip]

Hai studiato lo sviluppo di Taylor? Se sì, hai provato ad usarlo?

[pilloeffe]

Ciao cri98,

In realtà è abbastanza semplice...
Si ha:

$\lim_{x \to 0}(cos root[3]{x} - root[3]{cos x})/x^{2/3} = - \lim_{x \to 0}(root[3]{cos x} - cos root[3]{x})/x^{2/3} = - \lim_{x \to 0}(root[3]{cos x} - 1 + 1 - cos root[3]{x})/x^{2/3} = $
$= - \lim_{x \to 0}(root[6]{1 - sin^2x} - 1)/x^{2/3} + (1 - cos root[3]{x})/x^{2/3} = - \lim_{x \to 0}(root[6]{1 - sin^2x} - 1)/(-sin^2 x) \cdot (- sin^2 x)/x^{2/3} + (1 - cos root[3]{x})/x^{2/3} = $
$ = \lim_{x \to 0}(root[6]{1 - sin^2x} - 1)/(- sin^2 x) \cdot (sin^2 x)/x^2 \cdot x^{4/3} - \lim_{x \to 0} (1 - cos root[3]{x})/x^{2/3} = $
$ = 1/6 \cdot 1 \cdot 0 - 1/2 = - 1/2 $

[cri98]

ciao pilloeffe,
Grazie per la risposta.
l'unica cosa che non mi è chiara:
$ = \lim_{x \to 0}(root[6]{1 - sin^2x} - 1)/(- sin^2 x) = 1/6 $

utilizzi un limite notevole? quale? non riesco a vederlo .

Grazie

Hai studiato lo sviluppo di Taylor? Se sì, hai provato ad usarlo?

ciao Mephilip, si lo sviluppo di Taylor l'ho studiato, ho provato a fare qualche passaggio:
mi serve lo sviluppo di:
$ cos(x) =1-x^2/2+x^4/24 +(o(x^4))$

$ root(3)((cosx) )=1-x^(2/3)/2+x^(4/3)/24+(o(x^4)) $

$ lim_(x -> 0) ((1-x^(2/3)/2+x^(4/3)/24)-(root(3) (1-x^2/2+x^4/24) ))/x^(2/3) =$
$ lim_(x -> 0) (1-x^(2/3)/2+x^(4/3)/24-1+x^(2/3)/2^(1/3)-x^(4/3)/24^(1/3))/x^(2/3) $

se da qui in poi va tutto bene, avrei bisogno di una mano nei calcoli
Grazie!

[pilloeffe]

Grazie per la risposta.

Prego.

l'unica cosa che non mi è chiara: [...] utilizzi un limite notevole? quale?

Sì, il seguente:

$\lim_{f(x) \to 0} \frac{[1 + f(x)]^a - 1}{f(x)} = a $

$\AA a \in \RR $

[cri98]

ok perfetto Grazie

[Mephlip]

$ root(3)((cosx) )=1-x^(2/3)/2+x^(4/3)/24+(o(x^4)) $

Questo è sbagliatissimo non ha proprio senso algebricamente, sembra tu abbia elevato tutti gli addendi alla potenza $\frac{1}{3}$; avrebbe avuto senso se fosse stato $\cos ( root(3) x))$, ma non è questo il caso.
Dopo aver sviluppato il coseno (quello è corretto), devi poi sviluppare $(1+\varepsilon)^a$, che se $\varepsilon \to 0$ per $x \to x_0$ ha uno sviluppo del tipo $1+ax+\frac{a(a-1)}{2!}x^2+o(x^2)$ (ovviamente lo sviluppo prosegue se hai bisogno di termini successivi).
Nel nostro caso, $a=\frac{1}{3}$ ed $x_0=0$.

[cri98]

ciao Mephilip
Grazie per la risposta
ho fatto qualche ragionamento:
considero lo sviluppo del$ cos(x)= 1-x^2/2+x^4/24$

dallo sviluppo ottengo$ 1-1/3 x^2/2 =1-x^2/6+0(x^2)$
è corretto?
quindi bastava moltiplicare per 1/3 e non elevare ad 1/3?

Grazie!

[Mephlip]

Prego! Beh, se l'ordine che ti serve è il primo sì, basta moltiplicare per $\frac{1}{3}$.
Fai attenzione, elevare alla $\frac{1}{3}$ non si fa come hai fatto tu nel messaggio in cui sviluppi $root (3) \cos x$; è un errore abbastanza grave! Non si eleva ogni termine alla $\frac{1}{3}$, si lascia così (a meno di altre manipolazioni algebriche).

[cri98]

Grazie